4.5. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Заметим, что в методе последовательного исключения Гаусса вычисления возможны, если ведущие элементы системы . Добиться выполнения этого условия можно, переставляя элементы строк и столбцов матрицы. Но среди ведущих элементов могут оказаться очень маленькие по абсолютной величине. При делении на такие ведущие элементы получается большая погрешность округления (вычислительная погрешность).

Чтобы избежать сильного влияния вычислительной погрешности на решение, применяется метод Гаусса с выбором главного элемента (см. [9, с. 55]; [2, с. 148–150]). Изложим основную идею этого метода.

Рассмотрим систему (4.16). Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы

.

Среди элементов матрицы  выберем наибольший по модулю, называемый главным, элемент. Например, пусть им будет элемент . Строка с номером , содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Далее вычисляем множители  для всех .

Затем матрица  преобразуется так: к каждой -й, неглавной строке, прибавим почленно главную строку, умножив её на . В результате получим матрицу, у которой все элементы -го столбца, за исключением , равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получаем новую матрицу  с меньшим на единицу числом строк и столбцов.

Над матрицей  повторяем те же операции, после чего получаем матрицу  и т.д. Эти преобразования продолжаются до тех пор, пока не получится матрица, содержащая одну строку из двух элементов, которая тоже считается главной. Затем объединяем все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса с выбором главного элемента.

Далее находим , решая систему с треугольной матрицей. Это обратный ход.

Контроль правильности вычислений в методе Гаусса с выбором главного элемента осуществляется аналогично ранее описанному в методе последовательного исключения неизвестных.