2.2.3. Обусловленность вычислительной задачи

Но точность определяется не только качеством алгоритма и применяемыми вычислительными системами, но и обусловленностью решаемой вычислительной задачи.

Рассмотрим эту характеристику более подробно. Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если при малых изменениях входных данных результат также изменяется незначительно. Задача называется плохо обусловленной, если малые изменения входных данных могут привести к большим изменениям решения. Подробно вопросы обусловленности вычислительных задач и интересные примеры плохо обусловленных задач приведены в [Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров].

Часто входные данные и параметры модели являются результатом экспериментов и, следовательно, они лишь приблизительно отражают реальные физические значения. Ошибки могут быть вызваны как неточностью измерений, так погрешностью эксперимента. Поэтому в плохо обусловленной задаче вероятность получения точного решения незначительна. Причем эта возможная неточность

ПРИМЕР плохо обусловленной задачи [Бартеньев О. В. Фортран для профессионалов]. Пусть требуется решить уравнение .                                                 (2.2.1)

Левая часть уравнения равна (x–2)⁴, поэтому все корни уравнения совпадают и равны 2 (см. график функции ). Предположим, что свободный член определяется с ошибкой, равной 10^-8. Тогда, решаемое уравнение имеет вид

Рисунок 2.1. График функции y= f(x)

                                   (2.2.2)

Уравнение (2.2.2) эквивалентно уравнению (x–2)⁴=(0,01)⁴. Корни этого уравнения можно найти аналитически, и они равны x₁=2.01, x₂=1.99,  x₃=2+0.01i, x₄=2–0.01i. Таким образом, относительная погрешность результатов равна 0.5%, это значительно больше относительного изменения свободного члена равного 10^-6 % и говорит о плохой обусловленности задачи. Для вычисления корней уравнения (2.2.1) составим программу, используя подпрограмму ZPORC из IMSL.

Результаты работы программы:

(2.000097, 0.000000E+00)                       (–1.396984E–9, 2.000000)

(–1.396984E–9, –2.000000)                     (1.999903, 0.000000E+00)

            Изменим программу, так чтобы изучить влияние величины ошибки задания свободного члена на точность вычисления корней. Применить программу для выполнения индивидуальных заданий.

PROGRAM ROOT1 ! Подключение библиотеки IMSL USE MSIMSL REAL(4), ALLOCATABLE, DIMENSION(:) ::COEFF COMPLEX,ALLOCATABLE, DIMENSION(:)::ROOTS INTEGER N ! Степень многочлена             PRINT *,'INPUT N'             READ*,N ! Размещение в памяти массива коэффициентов             ALLOCATE(COEFF(0:N),STAT=IST)             IF(IST.NE.0)  STOP 'Out Memory MASSIV COEFF' ! Размещение в памяти массива корней             ALLOCATE(ROOTS(N),STAT=IST)             IF(IST.NE.0)  STOP 'Out Memory MASSIV ROOTS' ! Ввод коэффициентов уравнения, ! начиная со стоящего перед старшей степенью             PRINT *,'INPUT  COEFFICIENTS'             READ *, ( COEFF(I), I=N,0,-1) ! Вызов процедуры вычисления корней из библиотеки IMSL             CALL ZPORC(N,COEFF,ROOTs) ! Печать результатов             PRINT *,'ROOTS'             PRINT *,ROOTS DEALLOCATE(COEFF)             DEALLOCATE(ROOTS) END

ЗАДАНИЕ. 1) Составить программу на Фортране для построения графика функции y= f(x). 2) Вычислить корни уравнения f(x) =0, используя программу ROOT1. 3) Провести исследование зависимости решения от точности задания свободного члена. Варианты заданий. 1.      2.      3.      4.      . 5.      . 6.      . 7.      . 8.      . 9.      . 10.