Рассмотрены способы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Каждое такое уравнение можно представить в виде

Область определения D функции f называется также областью определения уравнения.

Число t называется корнем уравнения (2.3.1), или нулем функции f, если при подстановке его вместо х уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – это значит найти множество всех его корней.

Корни уравнения могут быть действительными и комплексными. Здесь будем заниматься поиском только действительных изолированных корней. Корень называется изолированным, если существует такой непустой интервал, в котором этот корень единственный. Уравнения можно решать точно с помощью аналитических преобразований и специальных формул. Однако многие уравнения нельзя решить точными методами. Часто на практике уравнения решают приближенно.

Во-первых, уравнений, для которых существуют точные методы решения, сравнительно мало. Например, не удается решить точно уравнения 0.
Во-вторых, многие точные методы настолько трудоемки, что применять их нецелесообразно.
В-третьих, очень часто точное решение уравнений и не является необходимым: проблема поиска корня считается решенной, если найдено его приближение с заданной степенью точности.

Процесс приближенного решения уравнений распадается на два этапа:

Будем говорить, что корень t отделен на отрезке [а; b] (a<b), если уравнение определено на всем этом отрезке и отрезок [а; b] содержит единственный корень. Отрезок [а; b] называют отрезком изоляции, или интервалом неопределенности корня t.

Отделить корни уравнения – значит для каждого из действительных корней найти свои отрезки изоляции.

Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа ε > 0 называется уточнением этого корня.

Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число х такое, что

|t — х|< ε . Тогда t ≈ х (t и х равны с точностью ε).

Если отрезок [а; b] изоляции корня t найден, то любое число из него можно взять в качестве приближенного значения корня.

2.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

2.3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ