2.4.2. Норма матрицы и число обусловленности

 

Если в пространстве векторов  введена норма, то согласованной с ней нормой в пространстве матриц  называют норму

, отсюда следует что , здесь A матрица порядка .

Приведем примеры согласованных норм

1),  ,

2) ,   ,

3),   ,

здесь - собственные числа матрицы ,  сопряженная матрица. Модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы. Заметим, что под нормой матрицы А понимают .

Числом (или мерой) обусловленности матрицы называют величину K равную произведению норм матрицы A и ее обратной  и обозначают . Матрицы с большим числом обусловленности называются плохо обусловленными и, наоборот, матрицы с малым значением  называются хорошо обусловленными. Для норм (3-5) справедливо .

В задачах решения СЛАУ число обусловленности связано с относительной ошибкой результата, так в норме (3) , где и - соответственно точное и вычисленное решение, а - машинная точность. В процедурах библиотеки IMSL при вычислении  используется норма (3). Поскольку вычисление обратной матрицы и следовательно ее нормы связано со значительными временными затратами, в процедурах библиотеки IMSL точное значение числа обусловленности не вычисляется, а дается его оценка, позволяющая охарактеризовать обусловленность задачи. Число обусловленности матрицы характеризует обусловленность СЛАУ . Для плохо обусловленных матриц малые возмущения ее элементов приводят к значительному изменению решения. Если вычисленное значение , то процедуры IMSL, решающие СЛАУ и оценивающие число обусловленности, выдают предупреждение.


Индивидуальные задания

 

ЗАДАНИЕ: Для, заданной матрицы размерности  вычислить характеристические числа, нормы и меры обусловленности квадратной матрицы размерности 2 х 2 в различных нормах. Оценить вычислительную сложность алгоритма. Для решения задачи составить программу на Фортране сравнить число обусловленности со значением оценки числа обусловленности, полученным с помощью функции cond.

Варианты заданий.

1) A=                         2) A=

3) A=                       4) A=

5) A=                       6) A=

7) A=                      8) A=

9) A=               10) =

11) A=            12) A=

 

ПРИМЕР: Для матрицы размерности 77 вычислить определитель и оценку числа обусловленности.

PROGRAM cond_Matr

Use imslf90

Use DFLIB

Integer, parameter:: n=7

Real::A(1:n,1:n),d

Integer k

INTEGER(2):: SL2

INTEGER(4) :: SL4

CALL SETTEXTWINDOW(8,4,26,80)

SL2=SETCOLOR(14_2)

SL4=SETBKCOLORRGB(#FF0000)

CALL CLEARSCREEN($GWINDOW)

! Заполнение матрицы случайными числами

A=5.0*rand(A)

! Вычисление определителя

d=det(A)

! Вычисление ранга и числа обусловленности

k=Rank(A)

c=cond(A)

Write(*,'(F8.4)') ((A(i,j), j=1,n), i=1,n)

Write(*,*) ' det= ',d

Write(*,*) ' rank= ',k

Write(*,*) ' cond= ',c

END

ЗАДАНИЕ:

1)Проверить работу программы для n = 7.

2) Модифицировать программу, так чтобы размерность матрицы задавалась с клавиатуры.