1.3. Неустранимая погрешность приближенного числа

Рассмотрим математические характеристики точности задания исходных данных задачи. Обозначим через – точное значение некоторой величины, а через  – ее приближенное значение. Погрешность приближенного числа , т.е. разность , обычно неизвестна. Обозначим .

Под оценкой погрешности  понимают установление неравенства вида ([4, c. 15, 16]):

(1.3)

Число называется абсолютной погрешностью приближенной величины или предельной абсолютной погрешностью. В качестве  стараются указать наименьшее число, удовлетворяющее неравенству (1.3). Иначе (1.3) можно записать

.

Часто полученное неравенство,задающее область неопределенности точного значения х, записывают в виде

.

Отметим, что абсолютная погрешность–величина размерная, имеющая размерность .

Поясним сказанное на примерах.

Если , например, вес, поднятый штангистом и измеряемый в кг, то, соответственно, – абсолютная погрешность, с которой была взвешена штанга, тоже задается в кг.

Если – расстояние, пробегаемое бегуном за одну тренировку и измеряемое в метрах (м), то – абсолютная погрешность, с которой измерено расстояние, преодоленное спортсменом на тренировке, также имеет размерность (м) и т.д.

С помощью абсолютной погрешности можно отразить количественную сторону погрешности некоторого результата, но не качественную.

Например, измерение расстояния, преодоленного прыгуном в длину, проведено с точностью 0,5 см. С такой же погрешностью измерена длина беговой дорожки стадиона. Очевидно, что второе измерение выполнено более качественно, чем первое.

Введем понятие относительной погрешности.

Относительной (предельной относительной) погрешностью приближенного числа называется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине числа , т.е.

(1.4)

Тогда

(1.5)

Из (1.5) следует, что

(1.6)

Относительная погрешность–величина безразмерная и обычно выражается в процентах. Ее принято записывать с двумя, тремя знаками в сторону увеличения (см. [4, c. 16]).

Пример. Определить, в каком случае качество вычислений выше: ; .

Рeшение. Вначале определим абсолютные погрешности и . Для этого берем числа и  с большим числом знаков:

Определим абсолютные погрешности, округляя их с избытком (для обеспечения неравенства (1.3)):

Далее определим относительные погрешности для и :

Сравнивая  и , видим, что качество приближенных вычислений во втором случае оказалось выше, чем в первом.