, в
котором содержится единственный корень 
уравнения (2.1). Из достаточно малой
окрестности корня выбирается точка 
– начальное приближение к корню уравнения и
строится последовательность значений 
посредством рекуррентного соотношения
2.6. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
2.6.1. Метод простой итерации
Отметим
прежде всего, что суть любого итерационного метода решения уравнения
(2.1) заключается в следующем. Пусть известен малый
промежуток , в
котором содержится единственный корень уравнения (2.1). Из достаточно малой
окрестности корня выбирается точка – начальное приближение к корню уравнения и
строится последовательность значений посредством рекуррентного соотношения
, 
.
При этом последовательность должна сходиться к корню , что обеспечивается
соответствующим выбором 
.
Простейшим из итерационных методов решения уравнения (2.1) является метод
простой итерации или метод последовательных приближений, применимый к широкому
классу уравнений вида (2.1). В этом методе (2.1) приводится к виду
 |
(2.8) |
Если 
(в прикладных задачах 
– конечный или бесконечный
отрезок числовой оси), а 
принадлежит
, то функцию 
можно рассматривать как оператор,
отображающий в . Решить уравнение (2.8) – значит
найти такие точки ,
которые при отображении оператором 
переходят в себя.
Как и в общем
подходе, в методе простой итерации на основе начального приближения , принадлежащего малой
окрестности корня уравнения (2.1), строят последовательность 
, по формуле
 , |
(2.9) |
Здесь функция не зависит от номера итерации 
, и методы такого типа
называют стационарными.
Геометрическая интерпретация метода простой итерации представлена на рис. 2.1. Отметим, что приведение уравнения (2.1) к виду (2.9) может быть сделано многими способами. Например, можно положить
,
где 
– произвольная непрерывная знакопостоянная
функция. Успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана .
Рис. 2.1
Исследуем условия
сходимости метода (см. [5, с.142–143]). Пусть имеет непрерывную производную. Тогда
 |
(2.10) |
.
Из (2.10) видно, что
если 
, то последовательность
убывает не
медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем 
, и тогда последовательность 
сходится при любом не
нулевом приближении .
Если 
в некоторой окрестности
корня, то итерации не могут сходиться. Очевидно, что чем меньше 
, тем быстрее сходимость.
Сходимость будет особенно быстрой при 
.
Если функция удовлетворяет условию
Липшица в круге 
,
т.е.
 |
(2.11) |
>0, 
– любые точки, условия
сходимости метода простой итерации даёт следующая теорема (см. [2, с. 452]).