3.2. Метод Ньютона

Метод Ньютона является эффективным методом повышения точности решения системы нелинейных уравнений (3.1) в тех случаях, когда известно достаточно хорошее приближение , , к точному решению .

Идея метода состоит в следующем: в окрестности приближения  заменим задачу (3.1) вспомогательной линейной задачей. Обозначим

,       

и представим (3.1) в виде

(3.14)

Предположим, что функции , дважды непрерывно дифференцируемы в области , содержащей точку , а величина  мала. Тогда, воспользовавшись формулой Тейлора, получим приближенное равенство:

(3.15)

В формуле (3.15) под  понимается матрица Якоби , или в развёрнутом виде:

.

Формула (3.15) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно , причем все её коэффициенты выражаются через , . Решив эту систему любым известным методом, например по правилу Крамера, методом исключения Гаусса (см. [1, c.257–265]), полагаем

.

Если использовать формулы (3.18), то на каждой итерации требуется находить Таким образом, фактическая реализация метода Ньютона проводится в два этапа:

1) решаем систему линейных алгебраических уравнений

(3.16)

или в развёрнутом виде относительно неизвестных .

Значения функций  и их производных вычисляем в известной точке . При этом предполагаем, что ;

2) полагаем

(3.17)

или покомпонентно

 и переходим к п. 1.

Счёт прекращаем, когда все приращения  неизвестных становятся малыми по абсолютной величине, а именно:

,

где  – заданная точность вычислений.

Если матрицы Якоби  являются невырожденными, то из (3.15) получим ещё одну запись итерационного процесса:

(3.18)

или

.

Формула (3.18) есть обобщение метода Ньютона для одного уравнения (см. [2, c.12–13]) на случай  уравнений. Из приведённых здесь обобщений метода Ньютона на случай  уравнений алгоритм (3.16) – (3.17) является наиболее последовательным и обладает следующими достоинствами:

       1. Сходимостью итераций к точному решению при условиях, которые даёт следующая теорема.