5.4. Метод релаксации

Рассмотрим обобщение метода Зейделя, которое, благодаря наличию числового параметра , позволяет в некоторых случаях ускорить итерационный процесс и носит название метода релаксации.

Представим СЛАУ (5.1) в виде:

Отсюда можно получить следующую итерационную формулу:

(5.35)

Здесь  – числовой параметр, именуемый параметром релаксации.

Формулу (5.35) можно записать в эквивалентном виде:

Отсюда, учитывая вид матриц  получаем следующие расчетные формулы метода релаксации:

(5.36)

Нетрудно видеть, что при  формулы (5.36) переходят в формулы (5.28) метода Зейделя.

Чтобы получить условия сходимости метода релаксации, установим аналогию с методом Якоби. Требуем, чтобы  Тогда из (5.35) имеем:

(5.37)

Сравнивая (5.37) с (5.3), находим, что

Вид матрицы  можно упростить. Учтем, что  Тогда получим:

(5.38)

где