6.2. Методы решения полной проблемы

Изложение вычислительных методов решения полной проблемы собственных значений начнем с рассмотрения точных методов. Будем для простоты рассматривать матрицы с вещественными элементами.

Первым рассмотрим метод Данилевского.

6.2.1. Метод Данилевского

Этот простой и экономичный способ нахождения всех собственных значений и соответствующих им векторов был создан в 30-х годах XX века А.М. Данилевским. Метод основан на известном факте из линейной алгебры о том, что преобразование подобия  не меняет характеристического многочлена матрицы  (см. [2, с. 130]). В этом легко убедиться:

.

(Т.к.,то при записи характеристического уравнения на эту величину его можно сократить).

При удачном подборе преобразования можно получить матрицу, собственный многочлен которой может быть выписан непосредственно по её виду. В методе Данилевского предлагается приводить исходную матрицу  с помощью преобразования подобия  к так называемой канонической форме Фробениуса:

.

Для матрицы  характеристический многочлен может быть легко записан, если последовательно разлагать определитель  по элементам первого столбца. В результате получим:

.

Из последнего соотношения видно, что элементы 1-й строки матрицы в форме Фробениуса  являются коэффициентами её собственного многочлена и, следовательно, собственного многочлена исходной матрицы . Матрицы  и связаны между собой преобразованием подобия .

Решив полученное уравнение , находим собственные значения матрицы . Далее, неособенная матрица , полученная в методе Данилевского, используется при нахождении собственных векторов матрицы .

Построение матрицы  в методе Данилевского осуществляется последовательно с помощью  преобразований подобия, которые переводят строки матрицы , начиная с последней, в соответствующие строки матрицы .