6.2.2. Интерполяционный метод

В этом методе определитель, из которого получается характеристический многочлен, не приводится к специальному виду (см. [2, с. 139–141]; [15, с. 324–330]).

Рассмотрим матрицу  -го порядка и запишем вековой определитель

.

Известно, что полином степени , соответствующий , вполне определяется своими значениями в  точке и может быть восстановлен по этим значениям с помощью какой-либо интерполяционной формулы.

Выберем в качестве  ( значение  можно задавать произвольно). Учитывая, что старший коэффициент искомого характеристического многочлена равен , для определения его остальных коэффициентов достаточно вычислить  значений определителя .

Вычислим значения  при выбранных значениях  Для того, чтобы определить коэффициенты , будем решать следующую систему линейных алгебраических уравнений:

В качестве методов решения этой системы можно использовать правило Крамера, прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (см., например, [4, с. 268–304]; [7]; [10, с. 372–441]).

Кроме того, для построения многочлена можно воспользоваться различными интерполяционными формулами для случая равноотстоящих и неравноотстоящих узлов (см. [10, с. 46–126]; [15, с. 324–330]).

Построенный многочлен и является характеристическим многочленом, а его корни – собственными значениями матрицы .

Как следует из вышесказанного, теоретически интерполяционный метод прост. Практически его реализация требует большого числа операций.

Заметим также, что метод интерполяции не позволяет каким-то образом упростить задачу определения собственных векторов матрицы, тогда как, например, методы Данилевского и Крылова существенно упрощают решение этой задачи (см. [2, с. 141]).

Достоинством указанного метода является широкая область его применимости, а также то, что с его помощью можно “развернуть” определитель в случае, когда его элементами являются известные алгебраические многочлены переменной (см. [2, с. 141]).