6.3.1. Нахождение максимального по модулю собственного значения

Допустим, что квадратная матрица  порядка  обладает полной системой  линейно независимых собственных векторов  соответствующих собственным значениям  т.е. справедливо

(6.7)

Такой случай возможен, когда все собственные значения различны между собой или матрица  – симметричная.

Пусть все  упорядочены так, что выполняются неравенства:

(6.8)

Зададим произвольный вектор

и разложим его по векторам базиса . Имеем:

(6.9)

где  – координаты  в базисе  и пусть .

С помощью вектора  построим итерационную последовательность:

(6.10)

Как следует из (6.7),

Тогда

(6.11)

и при , в силу (6.8), первое слагаемое в (6.11) будет главным. Для определения  запишем (6.11) через компоненты векторов.

Обозначим

Тогда векторное равенство (6.11) равносильно  численным равенствам:

(6.12)

Найдем, далее, отношения соответствующих компонент вектора  к компонентам . Будем иметь:

(6.13)

Здесь введены обозначения:

Так как , то при  из (6.13) получаем:

.

Следовательно, для достаточно больших  можно приближенно принять

(6.14)

Отметим, что все проведенные выше выкладки справедливы в предположении, что . Обычно несколько компонент вектора  не равны 0. Тогда по формуле (6.14) можно вычислить отношения при нескольких значениях . Если эти отношения оказываются одинаковыми в пределах принятой точности вычислений, то счет прекращают. При этом  будет найдено с некоторой заданной точностью.

Изложенный вычислительный процесс позволяет одновременно с наибольшим собственным значением  найти соответствующий ему собственный вектор .

В самом деле, из (6.11) имеем:

(6.15)

Отсюда при больших  следует, что

,

т.е. собственный вектор  определяется с точностью до константы через . Если , то , а если , то  при . По этой причине векторы  нуждаются в нормировке. Это можно сделать несколькими способами. Например, вместо  можно строить последовательность векторов , где нормирующий множитель , а .