6.4. Лабораторные задания

Задание

1. Построить характеристический многочлен матрицы, используя методы: Данилевского, интерполяционный, вращений, QR-разложений (два любых по выбору). Определить все собственные значения матрицы и соответствующие им собственные векторы.

2. Степенным методом найти наибольшее собственное значение матрицы и соответствующий ему собственный вектор.

Решение варианта задания

Пример 1. Методом Данилевского и интерполяционным методом решить полную проблему собственных значений матрицы
(6.24)

Решение. Воспользуемся удобной вычислительной схемой (см. [4, с. 407–410]) метода Данилевского, представленной ниже в виде табл. 6.1. В этой таблице не приведены расчетные формулы для контроля правильности приведенных вычислений.

В табл. 6.2 и 6.3 приводятся результаты вычисления коэффициентов характеристического уравнения и собственных векторов матрицы  соответственно.

Таблица 6.1

Номер

строки

Столбцы матрицы

1

2

3

1

 

2

 

3

 

I

         

 – 1

4

5

6

 

II

          

 – 1

7

8

 

9

 

 

 

Контроль правильности вычислений в методе Данилевского аналогичен контролю в методе Гаусса [7]. В строках 1–3 табл. 6.1 находятся элементы матрицы .

Коэффициент , полученный в столбце 1 табл. 6.1, должен совпадать со следом матрицы , т.е.

.

Коэффициент  должен совпадать с .

 

Таблица 6.2

Номер

строки

Столбцы матрицы

1

2

3

1

2

3

 

1,6

2,3

1,2

2,3

0,6

1,5

1,2

1,5

3,8

5,1

4,4

6,5

 

I

–0,8

0,66667–1

–2,53333

–4,33333

–4,33333

4

5

6

1,2

1,5

3,8

–0,24

1,82

0

1,53334

0,4

1

–4,62666

–0,01999

0

–3,33332

2,20001

1

–4,86666

1,8

0

 

2,442

6,24001

–5,58198

3,10003

3,10003

II

0,4095–1

–2,55529

2,28583

–1,26946

–1,26946

7

8

9

2,442

6,24001

–5,58198

–0,09828

1

0

2,14661

–0,00001

1

–5,17526

0,00002

0

–3,12693

1,00001

1

–3,02885

0,00001

0

 

6,00001

–0,34002

–12,63785

–6,97787

–6,97786

Из строки  табл. 6.2 выпишем коэффициенты характеристического уравнения:

Коэффициент  должен совпадать со следом  матрицы, а  – со значением . Убедимся в этом.