1.2.5. Примеры простейших математических моделей

ПРИМЕР 1: Пуля попадает в груз, подвешенный на легком, жестком и свободно вращающемся стержне. Пуля застревает в грузе и сообщает системе "груз-пуля" (см.рисунок ) свою кинетическую энергию. Составить математическую модель системы.

Во-первых, определим цели нашего исследования.

Цели: изучение механического взаимодействия груза и пули.

Во-вторых, сформулируем несколько задач, которые можно решить с помощью будущей модели. Заметим, что далеко не все задачи, которые можно решить с помощью модели могут быть сформулированы до создания модели. Часто формулирую только классы задач. Список задач, обычно изменяется в процессе формирования модели.

Задачи:

1. Вычисление угла отклонения груза, при известных массах груза и пули и скорости полета пули.
2. Вычисление скорости полета пули при известных массах и угле отклонения.
3. Вычисление массы груза при известной скорости и массы пули, а также угла отклонения.

1. Стержень несжимаемый и невесомый.
2. Потери энергии на разгон стержня и нагрев пули и груза незначительны.

Учитывая сформулированные ограничения и условия, воспользуемся законом сохранения механической энергии, а не законом сохранения полной энергии, а именно: кинетическая энергия пули равна кинетической энергии системы пуля+груз+стержень и полностью переходит в потенциальную энергию системы.

Рисунок 1.7. Система груз-пуля.

v - скорость пули;

m - масса пули;

M - масса груза;

V - скорость системы груз+пуля;

g - ускорение свободного падения;

H - высота подъема груза;

α - угол отклонения стержня;

l - длина стержня.

При вычислении потенциальной энергии приходится сформулировать дополнительные условия: длина стержня много больше размеров груза+пули, так что систему груз+пуля можно считать материальной точкой, а модель- дискретной. Таким образом, построена гомеоморфная, стационарная, аналитическая, дискретная, детерминированная модель.