2.4. Численные методы решения задачи минимизации

Рассмотрим задачу минимизации (поиска минимума) функции  на множестве . Для этого сначала напомним основные определения математического анализа [].

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1.- М.; Наука, 1970. -607с. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Ч.1. -М.;ТК Велби, Изд-во Проспект.-2006. -672с Полный список литературы

Определение 1. Точка  называется точкой локального минимума функции  на X, если существует число ε > 0 такое, что для всех  выполняется , (2.1) где .

Точка  называется точкой глобального минимума, если неравенство (2.1) выполняется для всех . Если неравенство (2.1) выполняется как строгое, то точка  называется точкой строгого минимума в глобальном или локальном смысле. Величину  называют минимальным значением  на  и обозначают .

Множество всех точек минимума  на X будем обозначать . В зависимости от свойств множества X и функции  множество  может содержать одну, несколько и даже бесконечно много точек, а также возможны случаи, когда  пусто.

В тех случаях, когда , естественным обобщением понятия наименьшего значения функции является понятие нижней грани функции.

Определение 2. Пусть функция  ограничена снизу на множестве X. Тогда число называется нижней гранью  на X, если 1)  при всех ; 2) для любого сколь угодно малого числа ε > 0  найдется точка , для которой .

Если функция  не ограничена снизу на X, то в качестве нижней грани  на X принимается .

Нижняя грань  на X обозначается через .

 Если , то, очевидно, что нижняя грань  на X совпадает с наименьшим значением этой функции на X, т.е. . В этом случае говорят, что функция  на X достигает своей нижней грани.