2.4.4. Метод золотого сечения

Определение 8. Точка  осуществляет золотое сечение отрезка , если отношение длины всего отрезка к длине большей его части равно отношению большей части к длине меньшей части: , при , , при .

"Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы "скрепила" их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относится к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является золотой. В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именует ее "Sectio autea", откуда и получил начало термин "золотое сечение". Лука Пачоли в 1509 году пишет первое сочинение о золотой пропорции, названной им "божественной". Иоганн Кеплер говорит о ней как о "бесценном сокровище", как об одном из двух сокровищ геометрии." Васютинский Н.А. Золотая пропорция. - М.:Мол. гвардия,1990.-238с

 Точка , симметричная точке относительно середины отрезка , является вторым золотым сечением этого отрезка. Из определения 8 следует, что

.

Предположим, что на й итерации интервал неопределенности равен , тогда новый интервал неопределенности, согласно теореме 2, равен , если , или , если . Будем выбирать новый интервал неопределенности так, чтобы выполнялись следующие 2 условия:

A. Длина нового интервала неопределенности не зависит от того, выполняется ли неравенство или неравенство , т.е. .

B. Для новой итерации  и выбираются так, чтобы либо  или .

Пусть точки и задаются по формулам

,

(2.6)

,

(2.7)

Здесь . Легко видеть, что длина нового интервала неопределенности не зависит от того, какое неравенство выполняется и равна , если точки и  выбираются по формулам (2.6)-(2.7). Определим далее, какое значение  нужно выбирать для того, чтобы выполнялось условие В. Пусть , т.е. новый интервал неопределенности равен  или . Потребуем, чтобы  . Согласно формуле (2.6)

Рассмотрим . Приравняем , получим .

Пусть , т.е. новый интервал неопределенности равен  или . Потребуем, чтобы . Согласно формуле (2.7)

.

Рассмотрим , приравняем , получим . Таким образом, выбирая в качестве  положительный корень этого уравнения (, ), построим процесс сокращения интервала неопределенности удовлетворяющий условиям А и B.