Система уравнений гидротермодинамики (2.2), записанная в декартовой системе координат, при построении прогностических моделей атмосферы используется как основная. Однако для целей прогноза крупномасштабных атмосферных движений целесообразно использование более простой системы уравнений, в которой вертикальная координата z заменена на другую координату с помощью уравнения статики (2.10).
Рассмотрим общий подход к преобразованию уравнений гидротермодинамики к системе координат с произвольной вертикальной координатой.
Пусть имеется некоторая функция f, под которой будем понимать ту или иную метеорологическую величину, зависящую от координат x, y, z, t, т.е. имеем f = f(x, y, z, t).
Рассмотрим систему координат, отличающуюся от декартовой только вертикальной координатой.
Обозначим новые независимые переменные x1, y1, η(x, y, z, t), t1. Тогда функцию f (x, y, z, t) в новой системе координат обозначим f1 = f1[x1, y1, η(x, y, z, t), t1].
Частные производные в старой и новой системах координат связаны следующим образом:
| \[\frac{\partial f}{\partial s}=\frac{\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}\frac{\partial {{x}_{1}}}{\partial s}+\frac{\partial {{f}_{1}}}{\partial {{y}_{1}}}\frac{\partial {{y}_{1}}}{\partial s}+\frac{\partial {{f}_{1}}}{\partial {{\eta }_{1}}}\frac{\partial \eta }{\partial s}+\frac{\partial {{f}_{1}}}{\partial {{t}_{1}}}\frac{\partial {{t}_{1}}}{\partial s}.\] | (2.12) |
Здесь s – любая из переменных x, y, z, t, т.е.
\[s=\left| \begin{align} & x \\ & y \\ & z \\ & t \\ \end{align} \right|.\]
Аналогичным образом обозначим
\[{{s}_{1}}=\left| \begin{align} & {{x}_{1}} \\ & {{y}_{1}} \\ & \eta \\ & {{t}_{1}} \\ \end{align} \right|.\]