При рассмотрении атмосферных процессов и для решения задач их прогноза в глобальном масштабе удобно использовать сферическую систему координат.
Пусть (см. рис. 2.1) r – расстояние от центра Земли до некоторой точки в атмосфере; λ – долгота места (восточная долгота – положительная, и наоборот); Θ = π/2-φ – полярный угол или дополнение широты (переменные r, λ и Θ – сферические координаты). Составляющие линейной скорости в этой системе координат будут иметь вид
|
\[{{v}_{\Theta }}=r\frac{d\Theta }{dt},\] \[{{v}_{\lambda }}=a\sin \Theta \frac{d\lambda }{dt},\] \[{{v}_{r}}={{v}_{z}}=w=\frac{dr}{dt},\] |
(2.56) |
где vΘ – меридиональная составляющая скорости (положительная направлена на юг), vλ – зональная составляющая скорости (положительная направлена на восток), vz – вертикальная скорость (z = r – a).
Уравнения движения по осям Θ и λ, уравнение статики, уравнения неразрывности, притоков тепла и влаги, а также уравнение вихря скорости в этой системе координат записывается следующим образом:
|
\[\frac{\partial {{v}_{\Theta }}}{\partial t}+{{v}_{z}}\frac{\partial {{v}_{\Theta }}}{\partial z}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial {{v}_{\Theta }}}{\partial \Theta }+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial {{v}_{\Theta }}}{\partial \lambda }-\frac{ctg\Theta }{a}v_{\lambda }^{2}=-\frac{1}{a\rho }\frac{\partial p}{\partial \Theta }+2\omega \cos \Theta {{v}_{\lambda }}+{{F}_{\Theta }},\] \[\frac{\partial {{v}_{\lambda }}}{\partial t}+{{v}_{z}}\frac{\partial {{v}_{\lambda }}}{\partial z}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial {{v}_{\lambda }}}{\partial \Theta }+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial {{v}_{\Theta }}}{\partial \lambda }+\frac{ctg\Theta }{a}{{v}_{\Theta }}{{v}_{\lambda }}=-\frac{1}{a\rho \sin \Theta }\frac{\partial p}{\partial \lambda }-2\omega \cos \Theta {{v}_{\Theta }}-2\omega \sin \Theta {{v}_{z}}+{{F}_{\lambda },}\]\[\frac{\partial p}{dz}=-g\rho ,\] \[\frac{\partial \rho }{\partial t}+{{v}_{z}}\frac{\partial \rho }{\partial z}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial \rho }{\partial \Theta }+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial p}{\partial \lambda }+\rho \left( \frac{\partial {{v}_{z}}}{{{\partial }_{z}}}+\frac{1}{a}\frac{\partial {{v}_{\Theta }}}{\partial \Theta }+\frac{1}{a\sin \Theta }\frac{\partial {{v}_{\lambda }}}{\partial \lambda }+\frac{{{v}_{\Theta }}ctg\Theta }{a} \right)=0,\] \[\frac{\partial T}{\partial t}+{{v}_{z}}\frac{\partial T}{\partial z}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial T}{\partial \Theta }+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial T}{\partial \lambda }-\frac{{{\gamma }_{a}}}{g\rho }\left( \frac{\partial p}{\partial t}+{{v}_{z}}\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial p}{\partial \Theta }+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial p}{\partial \lambda } \right)=\frac{1}{{{c}_{p}}\rho }\varepsilon ,\] \[\frac{\partial q}{\partial t}+{{v}_{z}}\frac{\partial q}{\partial z}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial q}{\partial \Theta }+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial q}{\partial \lambda }=\frac{1}{\rho }{{\varepsilon }_{П}},\] \[\frac{\partial \Omega }{\partial t}+\frac{{{v}_{\Theta }}}{a}\frac{\partial }{\partial \Theta }\left( \Omega +2\omega \cos \Theta \right)+\frac{{{v}_{\lambda }}}{a\sin \Theta }\frac{\partial \Theta }{\partial \lambda }=\frac{R}{{{a}^{2}}p\sin \Theta }\left( \frac{\partial p}{\partial \Theta }\frac{\partial T}{\partial \lambda }-\frac{\partial p}{\partial \lambda }\frac{\partial T}{\partial \Theta } \right)+\frac{(2\omega \cos \Theta +\Omega )}{\rho }\frac{\partial \rho {{v}_{z}}}{\partial z}.\] |
(2.57) |