1.7. Параметрические сплайны

Рассмотренные выше алгоритмы позволяют по дискретному набору точек восстанавливать плоские кривые, которые имеют конечную длину и описываются зависимостью вида , . Однако так можно представить не все кривые. Наиболее универсальным способом их задания является параметрический, который допускает представление замкнутых кривых, кривых с самопересечением и т.д. В этом случае кривая , которую можно представлять себе как траекторию непрерывного движения точки, задается двумя уравнениями , где – параметр,  – непрерывные функции. Например, для окружности , параметрическое представление имеет вид . Отметим, что параметризация кривой  может быть осуществлена различными способами, а параметрическое уравнение кривой в векторной форме имеет вид

,

где – радиус-вектор текущей точки на кривой;  и  – орты координатных осей. Для регулярной кривой , в каждой её точке существует касательная, которая непрерывно меняется вдоль этой кривой.

Рис. 9	Рис. 10

Пусть на плоскости задан упорядоченный набор точек, и требуется восстановить кривую, проходящую через эти точки (рис. 9). По

точкам , построим контрольную ломаную, а в качестве параметра   выберем её длину, которая одновременно задаёт и ориентацию параметризованной кривой. Тогда

,  .

Учитывая выбранную параметризацию, получим две сеточные функции , по которым  вычисляем, например, интерполяционные кубические сплайны  и  дефекта 1. При этом для незамкнутой кривой удобно использовать дополнительные условия 4-го типа.

Совокупность этих двух функций и будет являться интерполяционным параметрическим кубическим сплайном, векторная форма которого имеет вид

.

(88)

Зная вектор-функцию (88), её можно уточнить, используя теперь естественную параметризацию по длине дуги полученной кривой , изображённой на рис.10. В этом случае по формуле

,.

(89)

определяется уточненный массив параметризации , для опорных точек . Теперь можно определить вектор-функцию второго приближения

.

Отметим, что рассмотренный алгоритм легко обобщается на восстановление дискретно заданных пространственных кривых.