3.4. Составные B-сплайновые кривые и поверхности

Известно [2], что с ростом числа переменных процесс полиномиальной интерполяции значительно усложняется. Поэтому, применяя выравнивающие переменные, стремятся использовать многочлены невысоких степеней. Для сеточной функции одной переменной  , степень интерполяционного многочлена равна . Пусть теперь на сетке  (см. рис. 1) необходимо построить интерполяционный многочлен

, (22)
который содержит  коэффициентов. Если при этом   то часть коэффициентов в (22) приходится задавать, например, нулями. Более того, если в одномерном случае достаточно, чтобы узлы , были различными, то в двумерном случае для  они не должны лежать на одной прямой [4], а для  на одной кривой второго порядка и т.д.

Пусть, как и в разд. 1.7, на плоскости задан упорядоченный набор точек , и соответствующая ему контрольная ломаная (ломаная Безье). Сглаживающая кривая Безье в векторной форме, записанная по базисным функциям С.Н. Бернштейна [31], имеет вид

, (23)

Когда параметр  меняется от 0 до 1, кривая  описывает на плоскости траекторию из точки  в точку  и расположена в выпуклой оболочке, порожденной массивом . Если точки и совпадают, то кривая замкнута. Для  из (23) получим

, (24)