Введение

В различных алгоритмах вычислительной математики часто возникает необходимость решения следующих задач: приближенного восстановления таблично заданной функции, приближенного представления функций, сглаживания функций, приближенного вычисления по функции функционалов и операторов, приближенного решения функциональных уравнений, описания форм сложных изделий и их изображения с помощью компьютерной графики.

Если на сетке   заданы значения некоторой сеточной функции , то интерполяционный многочлен Лагранжа для решает задачу интерполирования на . Однако практическое применение таких многочленов при больших   для функций с особенностями и малой гладкостью ограничено. Этот недостаток можно устранить, если использовать полиномиальные сплайны (spline – упругий стержень, рейка). Полиномиальным сплайном называют определенную в области   кусочно-полиномиальную функцию   такую, что ее сужение на , является многочленом [1, 2].

Простейшим примером полиномиального сплайна первой степени является ломаная, «склеенная» во внутренних узлах сетки ω из линейных функций. Наиболее употребительными в приложениях стали кубические сплайны, которые на каждом интервале сетки ω являются многочленами третьей степени. Впервые такие сплайн-функции рассматривались Шенбергом (1946). Важную роль в развитии теории сплайнов сыграло обнаруженное Холлидеем (1957) экстремальное свойство интерполяционных кубических сплайнов. Базисные функции с локальным носителем (В – сплайны) позволяют записать сплайн в виде линейной комбинации базисных функций.    

Использование сплайн-функций для приближенного решения краевых задач способствовало развитию метода конечных элементов, получению разностных схем сплайновой интерполяции. Вейвлет – анализ (wavelet–маленькая волна), возникший в конце прошлого века, активно начинает использоваться для  решения нестационарных задач сжатия и обработки изображений. Сплайн – вейвлеты, являющиеся составной частью этой теории, основаны на использовании В – сплайнов.  

Сплайновые методы успешно применяются при решении двумерных задач интерполяции и сглаживания функций. Этот подход оказывает свое плодотворное влияние и на создание параллельных вычислительных алгоритмов суперкомпьютерной математики для решения сложных задач науки и техники.