1-ой аксиоме счетности

Топологическое пространство удовлетворяет 1-ой аксиоме счетности, если каждая точка имеет счетную фундаментальную систему окрестностей.

2-ой аксиоме счетности

Топологическое пространство удовлетворяет 2-ой аксиоме счетности, если оно имеет счетную базу топологии.

Аксиомами отделимости

Это так называемые аксиомы: Аксиома T₀, Аксиома T₁, Аксиома T₂ = Аксиоме Хаусдорфа, Аксиома T₃, Аксиома T₄, Аксиома регулярности, Аксиома нормальности.

Аксиома T₀

Для любых различных точек в топологическом пространстве по крайней мере у одной из них существует окрестность, не содержащая другую точку.

Аксиома T₁

Для любых двух различных точек в топологическом пространстве у каждой из них существует окрестность, не содержащая другую точку.

Аксиома T₂

(часто также называемая аксиомой Хаусдорфа): любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома T₃

= Аксиома регулярности + Аксиома T₁

Аксиома T₄

= Аксиома нормальности + Аксиома T₁

Аксиома нормальности

Любые два замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома регулярности

Любое замкнутое множество и не принадлежащая этому множеству точка имеют непересекающиеся окрестности.

Александров Павел Сергеевич (1896-1982)

Основные труды по топологии и теории функций действительного переменного, в этих областях получил ряд выдающихся результатов. П.С.Александров создал современную топологическую школу, получившую мировое признание. Автор сотен монографий, учебников и учебных пособий.

Топология, состоящая всего из двух множеств: и X , называется тривиальной или антидискретной топологией.

База топологии

Семейство открытых множеств называется базой топологии, если любое открытое множество можно представить в виде объединения некоторого объединения элементов из .

Бутылка Клейна

Фактор-пространство, полученное из прямоугольника и имеющее следующую развертку.

Вейль Герман Клаус Хуго (1885-1955)

Немецкий математик и физик. Окончил Геттингенский университет. Работал в различных областях математики. Первые работы посвящены тригонометрическим рядам, рядам по ортогональным функциям и почти периодическим функциям. Наиболее значителен комплекс работ Вейля по теории непрерывных групп и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики. В области философии математики Вейль известен как представитель интуиционизма.

Внутренность

Множество всех внутренних точек множества A называется его внутренностью и обозначается .

Внутренняя точка

Точка называется внутренней точкой множества A , если у нее существует окрестность O_x такая, что .

Всюду плотное множество

Множество A называется всюду плотным в топологическом пространстве X , если его замыкание равно X .

Выделения ручки

Процедура, описанная в леммах 33-35.

Выделения пленки Мебиуса

Процедура, описанная в леммах 37 и 38.

Гильберт Давид (1862-1943)

Выдающийся немецкий математик. Окончил Кенигсбергский университет. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Геттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Геттинген в 1-й трети XX в. был одним из основных мировых центров математической мысли.

Гомеоморфизм

Отображение называется гомеоморфизмом, если выполнены следующие три условия:

1) f есть биекция X на Y ;

2) f непрерывно;

3) f ^-1 непрерывно.

Гомеоморфные пространства

Если между топологическими пространствами существует гомеоморфизм, то они называются гомеоморфными пространствами.

Граничная точка

Точка x называется граничной точкой множества A , если любая ее окрестность O_x имеет непустое пересечение как с множеством A, так и с его дополнением X \ A .

Двусторонняя поверхность

Двумерное связное многообразие, которое можно раскрасить двумя разными цветами.

Граница

Множество всех граничных точек множества A называется его границей и обозначается FrA .

Дискретная топология

Дискретной топологией называется семейство всех подмножеств данного множества.

Дискретным топологическим пространством

Множество, наделенное дискретной топологией, называется дискретным топологическим пространством.

Замкнутые множества

Подмножество F называется замкнутым, если его дополнение X \ F является открытым.

Замыкание

Множество всех точек прикосновения множества A называется замыканием множества A и обозначается символом .

Изолированная точка

Точка x множества A называется его изолированной точкой, если она имеет окрестность O_x такую, что .

Индуцированная топология

Пусть A есть подмножество в топологическом пространстве . Семейство называется индуцированной топологией.

Кантор Георг (1845-1918)

Немецкий математик. Родился в Петербурге. В 1867 г. окончил Берлинский университет. Является создателем теории множеств и начал абстрактной топологии. В 1897 г. отошел от научного творчества.

Крендель

Поверхность, полученная в результате склейки двух торов, в которых вырезаны две круглые дырки с отождествлением краев этих дыр.

Компактность

Топологическое пространство называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие.

Куратовский Казимеж (1896-1980)

Польский математик. Работал в области топологии, теории множеств и теории функций. Был директором Математического института Польской АН

Лемма Цорна

Это утверждение эквивалентно аксиоме выбора в абстрактных теориях множеств. Потому и само оно должно восприниматься как независимая дополнительная аксиома, в частности, как утверждение, не требующее доказательства.

Лемма Цорна. Пусть есть упорядоченное множество, в котором любое линейно упорядоченное множество имеет мажоранту. Тогда в существует максимальный элемент.

Множество называется линейно упорядоченным, если для любых его элементов a и b выполнено или a < b, или a > b, или a = b . Элемент a называется мажорантой , если он не меньше любого элемента из этого множества (иное название для таких элементов - верхняя грань). Элемент a₀ называется максимальным, если из неравенства следует (не путать с наибольшим элементом, который определяется как элемент, больший всех остальных).

Лестница

Одно из топологически эквивалентных представлений сферы с ручками

Линейная связность

Назовем топологическое пространство линейно связным, если для любых двух точек x₀ и x₁ существует непрерывная линия, их соединяющая, т.е. такое непрерывное отображение , что и .

Лист Мебиуса

Эта хорошо известная фигура изображена на следующем рисунке.

Лузин Николай Николаевич (1883-1950)

Родился и окончил гимназию в г. Томске. В 1908 г. окончил Московский университет. С 1917 г. профессор этого университета. Н.Н. Лузин - один из создателей дескриптивной теории функций, создатель московской научной школы теории функций. Среди его учеников академики П.С. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев.

Марков Андрей Андреевич (1903-1979)

Выдающийся математик. Занимался топологией, топологической алгеброй, динамическими системами, конструктивной математикой и логикой.

Непрерывность

Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке.

Непрерывность в точке

Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности O_f(x) точки f(x) найдется окрестность O_x точки x такие, что

Несравнимые топологии

Топологии и называются несравнимыми, если ни одно из включений и не имеет места, т.е. найдутся открытые множества открытые в первой топологии и не открытые во второй и наоборот.

Нормальное пространство

Пространство называется нормальным пространством, если оно удовлетворяет аксиоме нормальности.

Односторонняя поверхность

Двумерное связное многообразие, которое нельзя раскрасить разными цветами

Окрестность

Окрестностью точки x в топологическом пространстве называется любое множество O , для которого существует открытое множество G такое, что . Следовательно, открытые множества являются окресностями каждой своей точки. Окрестностью множества A в топологическом пространстве называется любое множество O , для которого существует открытое множество G такое, что .

Операция переворачивания

Операция, при которой буквы в слове записываются в обратном порядке и в обратных степенях. Соответствует простому переворячиванию многоугольника на другую сторону.

Операция переименования

Это операция, при которой буква можно переименовывается в любую другую букву при условии, что она еще не была задействована.

Операция разрезания

Результат проведения дополнительного разрезания многоугольника на две части.

Операция склейки

Операция, обратная к операции разрезания.

Операция сокращения

Удаление из слов двух подряд идущих букв вида aa ^-1 или a ^-1a .

Открытое множество

Элементы топологии называются открытыми множествами.

Перельман Григорий Яковлевич

Родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 г. выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в Петербургском университете, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН.

Пленка Мебиуса

То же самое, что и лист Мебиуса.

Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет окрестность O_x , гомеоморфную евклидову пространству .

Подпространство

Пусть X есть топологическое пространство с топологией и . Пространство , где есть индуцированная топология, называется подпространством пространства .

Покрытие

Семейство называется покрытием пространства X, если . При этом покрытие является открытым покрытием, если каждое множество G_i является открытым

Предельная точка

Точка x называется предельной точкой множества A , если для любой ее проколотой окрестности, т.е. множества вида , где O_x есть окрестность точки x , выполнено .

Проблема Пуанкаре

Всякое ли трехмерное компактное, связное многообразие без края, в котором каждая замкнутая кривая стягивается в точку, гомеоморфно трехмерной сфере S ³ ?

Производное множество

Множество всех предельных точек прикосновения называется производным множеством и обозначается через.

Проективная плоскость

Фактор-пространство, полученное из прямоугольника, и имеющее следующую развертку.

Другие определения проективной плоскости см. в параграфе с соответствующим названием.

Пуанкаре Анри (1854-1912).

Выдающийся французский математик, механик и философ. Считается одним из главных создателей новой науки, получившей впоследствии название топологии.

Равенство топологий

Две топологии равны, если они состоят из одних и тех же открытых множеств.

Развертка

Многоугольник, при некороторой склейке сторон которого получается данная поверхность.

Развертка тора

Расширение

Топологическое пространство X называется расширением топологического пространства A, если A есть подпространство пространства X .

Регулярное пространство

Пространство называется регулярным пространством, если оно удовлетворяет аксиоме регулярности.

Ручка

Часть поверхности, гомеоморфная тору, на котором вырезана круглая дырка.

Свойство Суслина

Говорят, что топологическое пространство X имеет свойство Суслина, если любая система попарно непересекающихся открытых множеств в X не более чем счетна.

Связность, связное пространство

Топологическое пространство X называется связным, если его нельзя представить в виде объединения непустых открытых непересекающихся подмножеств и .

Связное множество

Подмножество топологического пространства называется связным множеством, если оно связно как подпространство с индуцированной топологией.

Сепарабельность

Пространство X называется сепарабельным, если оно имеет счетное, всюду плотное подпространство.

Сравнение топологий

Сравнить топологии − это указать, какая из следующих четырех ситуаций имеет место:

, т.е. имеет место равенстве топологий;

, топология слабее топологии ;

, топология сильнее топологии ;

топологии несравнимы, если ни одно из включений и не имеет места, т.е. найдутся открытые множества открытые в первой топологии и не открытые во второй и наоборот.

Стрелка Зоргенфрея

Так называется топологическое пространство, в котором на вещественной прямой для любого ф.с.о. определяется состоящим из всех полуинтервалов .

Стягивание в точку

Топологическое пространство называется стягиваемым в точку x₀, если существует непрерывное отображение , где [0,1] - обычный отрезок с евклидовой топологией, такое, что для всех выполнено и для всех.

Суслин Михаил Яковлевич (1894-1919)

Ученик Н. Н. Лузина. С 1917 г. работал в Московском университете. Основным научным открытием М.Я. Суслина было установление факта существования А-множеств. М.Я. Суслин опубликовал только одну короткую заметку о своих открытиях (1917).

Сфера с ручками

Это сфера, в которой на месте некоторого конечного числа круглых дыр приклеены ручки.

Тихонов, Андрей Николаевич (1906-1993)

Окончил МГУ в 1927 г. С 1970 был деканом факультета вычислительной математики и кибернетики; заместителем директора института прикладной математики АН СССР. Первые работы посвящены топологии и функциональному анализу. А.Н. Тихоновым введено понятие произведения топологических пространств ("тихоновское произведение", 1926), доказаны теоремы о компактности произведения компактных пространств и о существовании неподвижной точки при непрерывных отображениях в топологических пространствах. Последующие труды относятся к теории дифференциальных уравнений, математической физике, геофизике и вычислительной математике.

Топологический инвариант

Топологическим инвариантом называется любое свойство, которое сохраняется гомеоморфизмами.

Топологическое пространство

Множество X, снабженное некоторой топологией , т.е. пара называется топологическим пространством. Элементы топологии, т.е. множества из называются открытыми множествами.

Топология

Пусть X -произвольное множество. Семейство подмножеств множества X называется топологией на множестве X , если выполнены следующие условия:

(O₁) Объединение любого подсемейства семейства принадлежит ;

(O₂) Пересечение любого конечного подсемейства семейства принадлежит .

(O₃) , .

Топология сильнее

Топология сильнее топологии , если каждое открытое множество в топологии является открытым множеством в топологии .

Топология слабее

Топология слабее топологии , если каждое открытое множество в топологии является открытым множеством в топологии .

Точкой прикосновения

Точка называется точкой прикосновения множества A, если любая ее окрестность O_x имеет непустое пересечение с множеством A.

Тривиальная топология

Топология, состоящая всего из двух множеств: и X, называется тривиальной или антидискретной топологией.

Урысoн Павел Самуилович (1898-1924)

Окончил Московский университет в 1919 г. П.С. Урысон - один из крупнейших специалистов в области топологии. Ему принадлежат также работы по нелинейным дифференциальным уравнениям, геометрии и др. Трагически погиб в Бретани (Франция) во время купания.

ф.с.о.

Сокращение от фундаментальной системой окрестностей.

Фактор-пространство

Пусть дано множество X и на нем задано отношение эквивалентности. Множество всех классов эквивалентности, наделенное фактор-топологией, называется фактор-пространством.

Фактор-топология

Сильнейшую среди всех топологий на множестве всех классов эквивалентности, для которых каноническое отображение, сопоставляющее каждой точке ее класс эквивалентности, является непрерывным.

Фрешe Морис Рене (1878-1973)

Французский математик. Профессор Страсбургского (1919-1927) и Парижского (1928-1949) университетов. Основные работы Фреше относятся к топологии и функциональному анализу, где он ввел современные абстрактные понятия метрического пространства, компактности, полноты и др. Работал также в области теории вероятностей.

Фундаментальной системой окрестностей

Фундаментальной системой окрестностей (сокращенно ф.с.о.) точки x в топологическом пространстве называется такое семейство окрестностей этой точки, что для каждой окрестности O точки x существует , удовлетворяющее условиям .

Хаусдорф Феликс (1868-1942)

Немецкий математик. В 1891 г. окончил Лейпцигский университет. Основные его труды относятся к теории множеств, топологии, функциональному анализу. В 1942 г., узнав о предстоящей отправке семьи в гитлеровский концлагерь, покончил жизнь самоубийством.