1.1. Аксиомы топологического пространства

Пусть- произвольное множество. Семейство подмножеств множества называется топологией на множестве , если выполнены следующие условия:

(O₁) Объединение любого подсемейства семейства принадлежит ;

(O₂) Пересечение любого конечного подсемейства семейства принадлежит ;

(O₃) ,.

Множество,снабженное некоторой топологией , т.е. пара называется топологическим пространством. Элементы топологии, т.е. множества из называются открытыми множествами.

Пример 1. Семейство всех подмножеств множества является топологией, которую принято называть дискретной топологией. Таким образом, в дискретной топологии все подмножества из являются открытыми. Пространство называется дискретным топологическим пространством.

Пример 2. Топология, состоящая всего из двух множеств: и , называется тривиальной или антидискретной топологией.

Пусть является топологическим пространством. Подмножество называется замкнутым, если его дополнение является открытым множеством.

Теорема 1. Семейство всех замкнутых множеств топологического пространств имеет следующие свойства:

(F₁) пересечение любого семейства замкнутых множеств является замкнутым;

(F₂) объединение любого конечного семейства замкнутых множеств является замкнутым;

(F₃) множества и замкнуты.

Верно и обратное: если задано семейство , которое удовлетворяет условиям (Φ₁), (Φ₂) и (Φ₃), то семейство Φ} является топологией на , для которой семейство Φ совпадает с семейством всех замкнутых множеств.

Доказательство теоремы 1.

По формуле де Моргана . Следовательно, из свойства (F₁) следует свойство (O₁). Аналогично, из формулы де Моргана но только уже для конечного индексного множества I следует свойство (O₂). Свойство (O₃) очевидно, т.к. дополнением к является X и наоборот.

Доказательство теоремы в обратную сторону проводится совершенно аналогично с использованием формул де Моргана.

Таким образом, топологическое пространство может быть задано некоторым описанием всех его замкнутых множеств.

Пример 3. На любом бесконечном множестве топологию можно задать, объявив замкнутыми множествами все конечные множества (и также и ).