1.9. Аксиомы отделимости

Для топологических пространств существует целая иерархия свойств, связанных с отделимостью открытыми множествами точек или замкнутых множеств друг от друга. Все эти свойства являются топологическими инвариантами. Исторически сложилось так, что их называют аксиомами отделимости.

Аксиома T₀: для любых различных точек по крайней мере у одной из них существует окрестность, не содержащая другую точку.

Аксиома T₁: для любых двух различных точек у каждой из них существует окрестность, не содержащая другую точку.

Аксиома T₂ (часто также называемая аксиомой Хаусдорфа): любые две различные точек имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома регулярности: для любых замкнутого множества и не принадлежащей этому множеству точки существуют непересекающиеся окрестности.

Аксиома T3 = Аксиома регулярности + Аксиома T1

Аксиома нормальности: любые два замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома T4 = Аксиома нормальности + Аксиома T1

Легко видеть, что из аксиомы T₄ вытекает аксиома T₃, из аксиомы T₃ вытекает аксиома Т₂, из аксиомы Т₂ вытекает аксиома Т₁ и, наконец, из аксиомы Т₁ вытекает аксиома Т₀. Примеры показывают, что все эти аксиомы различны.

Пространство называется регулярным пространством (соответственно нормальным пространством), если оно удовлетворяет аксиоме регулярности (соответственно аксиоме нормальности).

Теорема 14. Топологическое пространство X удовлетворяет аксиоме T₁ тогда и только тогда, когда каждое одноточечное множество в X замкнуто.

Доказательство теоремы 14.

Пусть все одноточечные множества замкнуты. Тогда для любых ,  множества  и  будут замкнутыми в , таким образом,  - открытая окрестность точки , не содержащая точку , и - открытая окрестность точки , не содержащая точку . Следовательно,  удовлетворяет аксиоме .

Если  удовлетворяет аксиоме  и , то для любой точки  выберем открытую окрестность , не содержащую точку . Тогда  - открытое в  множество, и, значит, множество  замкнуто.

Аксиома регулярности и аксиома T₃, равно как и аксиома нормальности и аксиома Т₄, могут различаться друг от друга, т.к., вообще говоря, одноточечные множества не обязаны быть замкнутыми.

Следующая теорема делает несложной проверку регулярности топологических пространств.

Теорема 15. Топологическое пространство X регулярно тогда и только тогда, когда в нем каждая точка имеет фундаментальную систему замкнутых окрестностей, другими словами, если для каждой окрестности произвольной точки существует меньшая окрестность , такая, что .

Доказательство теоремы 15.

Пусть  удовлетворяет аксиоме  и  - открытая окрестность точки . Тогда множество  - замкнуто в  и . Существуют открытые множества  и   такие, что  и . Так как  и множество  замкнуто, то . Итак установлено, что из аксиомы  вытекает условие, сформулированное в теореме 15. Обратное утверждение доказывается аналогично.