1.10. Компактность


Топологическое пространство называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Напомним, что семейство называется покрытием пространства X, если . При этом покрытие является открытым покрытием, если каждое множество является открытым множеством.

Непосредственно из определения вытекает следующая теорема.


Теорема 16. Непрерывный образ компактного пространства также является компактным пространством.


Следовательно, компактность является топологическим инвариантом.


Теорема 17. Замкнутое подмножество компактного пространства является компактным подпространством.

Доказательство теоремы 17.

Закрыть

Пусть  есть замкнутое подпространство компактного пространства ,  и  есть открытое покрытие . Множества  открыты в  и не обязаны быть открытыми в . Но по определению понятия подпространства,  для каждого индекса  найдется множество , открытое в  и такое, что . Нетрудно теперь понять, что множество  вместе со всеми множествами вида  составляют открытое покрытие пространства . Пространство  компактно,  и потому из данного покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Удаляя множество  за ненадобностью и, возвращаясь к множествам , мы получаем конечное подпокрытие .


Теорема 18. Компактное хаусдорфово пространство является нормальным.

Доказательство теоремы 18.

Закрыть

Доказательство проведем в два этапа - вначале установим регулярность пространства , а затем уже его нормальность.

Пусть  и - замкнутое подпространство в , причем . Тогда по теореме 17  является компактным подпространством. Для каждой точки , пользуясь аксиомой Хаусдорфа, найдем непересекающиеся окрестности  - точки  и - точки . Символ  надо воспринимать как индекс, нумерующий данную пара окрестностей. Семейство  является открытым покрытием компакта . Пусть - конечное подпокрытие. Определим теперь  и . Тогда множество  является окрестностью точки , а - окрестность множества , причем .

Пусть теперь  и  - замкнутые непересекающиеся множества в . Пользуясь доказанной регулярностью пространства , для каждой точки  выберем открытые непересекающиеся множества: - окрестность множества  и - окрестность точки .  Семейство  является открытым покрытием компакта . Пусть - его конечное подпокрытие. Определим теперь  и . Тогда множество  является окрестностью множества , а - окрестность множества , причем .