1.11. Связность

Топологическое пространство X называется связным, если его нельзя представить в виде объединения непустых открытых непересекающихся подмножеств G₁ и G₂ . Т.к. дополнение к открытому множеству является замкнутым, эквивалентным образом связное пространство можно определить как такое пространство, которое не представимо в виде объединения непустых замкнутых непересекающихся множеств. Кроме того, связное пространство можно также определить как такое пространство, в котором нет непустых собственных (т.е. отличных от всего X ) открыто-замкнутых подмножеств.

Подмножество топологического пространства называется связным множеством, если оно связно как подпространство с индуцированной топологией.

Непосредственным следствием определения является следующая теорема.

Теорема 19. Непрерывный образ связного пространства также является связным пространством.

Следовательно, связность является топологическим инвариантом.

Примером связного пространства являются вещественная прямая или непустой сегмент [a,b] этой прямой.

Назовем топологическое пространство линейно связным, если для любых двух точек x₀ и x₁ существует непрерывная линия, их соединяющая, т.е. такое непрерывное отображение , что и . Из связности отрезка [0,1] и теоремы 19 получаем следующее утверждение.

Теорема 20. Линейно связное пространство является связным.

Обратное неверно, как показывает следующий пример:

Пример 6. Существует связное, но не линейно связное пространство.

Доказательство примера 6.

Расмотрим множество  как подпространство евклидовой плоскости. Очевидно, что множество  линейно связно и потому просто связно.

Далее справедлива несложная лемма, доказательство которой оставляем читателю.

Лемма. Замыкание связного множества является связным.

Нетрудно видеть, что замыкание множества  сводится к добавлению к нему вертикального отрезка на оси ОУ:

.

Множество  не является уже линейно связным, т.к. точки на синусоиде не могут быть соединены непрерывной линией с точками из множества .

Теорема 21. Пусть G - открытое множество в Rⁿ, наделенном обычной евклидовой топологией. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) G связно;

2) G линейно связно;

3) для любых двух точек в G существует ломаная линия, их соединяющая.

Доказательство теоремы 21.

Ясно, что . Докажем импликацию . Предположим противное, что не все точки могут быть соединены между собой ломаными линиями. Зафиксируем произвольным образом точку . Обозначим через  совокупность всех точек из , которые можно соединить ломаной с точкой , а через - множество всех остальных точек. Ясно, что . Далее, множество  является открытым множеством. В самом деле пусть . Из открытости множества  следует, что для некоторой  шаровой открытой окрестности  радиуса  выполнено . Любая точка из шара  соединима отрезком радиуса с центром шара  и поэтому соединима ломаной с точкой , поскольку такая ломаная существует между  и . Следовательно, . Таким образом, множество  является открытым. Аналогично доказывается и открытость множества . Значит  распадается на два непересекающиеся открытые множества, что противоречит связности множества .