1.12. Аксиомы счетности

Топологическое пространство удовлетворяет 1-ой аксиоме счетности, если каждая точка имеет счетную фундаментальную систему окрестностей.

Топологическое пространство удовлетворяет 2-ой аксиоме счетности, если оно имеет счетную базу. Семейство открытых множеств называется базой топологии, если любое открытое множество можно представить в виде объединения некоторого объединения элементов из . Справедлива следующая очевидная теорема.

Теорема 22. Семейство является базой топологии пространства X тогда и только тогда, когда для каждой точки и каждой ее окрестности O_x найдется такое, что .

Таким образом, база топологии фактически является фундаментальной системой окрестностей, но для всех точек сразу.

Пример 7. Прямая R и, более того, пространство Rⁿ с обычной евклидовой топологией удовлетворяют второй аксиоме счетности.

Доказательство примера 7.

Для  счетную базу топологии образует совокупность всех интервалов  с рациональными концами. В  счетную базу топологии будут составлять открытые кубы, т.е. прямые произведения (r₁¹, r₂¹)×...×(r₁ⁿ, r₂ⁿ) интервалов с рациональными концами.

Легко видеть, что из 2-ой аксиомы счетности следует 1-ая аксиома счетности. Обратное неверно, как показывает следующий пример.

Пример 8. Стрелка Зоргенфрея удовлетворяет 1-ой аксиоме счетности и не удовлетворяет 2-ой аксиоме счетности.

Следующая теорема дает ответ на вопрос: когда семейство подмножеств данного множества является базой некоторой топологии?

Теорема 23. Семейство подмножеств множества X является базой некоторой топологии на X , если

1) и

2) для любых и существует такое , что .