Множество A называется всюду плотным в топологическом пространстве X , если его замыкание

равно X . Пространство X называется сепарабельным, если оно имеет счетное, всюду плотное подпространство.

Говорят, что топологическое пространство X имеет свойство Суслина, если любая система попарно непересекающихся открытых множеств в X не более чем счетна.

Теорема 24. Если пространство имеет счетную базу, то оно сепарабельно.

Счетное всюду плотное множество можно получить, еси мы выберем по точке в каждом элементе счетной базы.

Теорема 25. Если пространство X сепарабельно, то оно имеет свойство Суслина.

Возьмем систему из попарно непересекающихся открытых множеств. Каждый элемент этой системы имеет непустое пересечение со счетным всюду плотным множеством . Выберем по точке в пересечении . Ясно, что все эти точки попарно различны. Множество счетно, следовательно, и выбранных точек не более, чем счетное число. Отсюда следует, что индексное множество также счетно.

Между сепарабельностью, 2-ой аксиомой счетности и свойством Суслина никаких других связей, кроме указанных в теоремах 24 и 25, вообще говоря, нет. Но в случае метрических пространств справедлива следующая теорема.

Теорема 26. Для метрических пространств свойства сепарабельности, 2-ая аксиома счетности и свойство Суслина эквивалентны.

Из теоремы 24 и теоремы 25 следует, что нам нужно только доказать, что для метрических пространств из условия Суслина следует существование счетной базы. Начнем доказательство со следующей леммы.

Лемма. Для каждого существует подмножество такое, выполнены условия:

1) для каждой точки существует такое, что расстояние .

2) объединение всех шаров , , покрывает .

Доказательство леммы требует применения аксиомы выбора (например, через использование леммы Цорна). Интуитивно все просто: мы начинаем с произвольной точки и добавляем по точке так, чтобы она отстояла на расстоянии не меньше , пока имеется такая возможность. Когда этот процесс закончится, мы получим искомое множество. Оно будет счетным благодаря свойству Суслина. Проведем теперь формальное рассуждение. Обозначим через семейство всех множеств , в котором попарные расстояния между точками . Упорядочим семейство по включению. Если есть линейно упорядоченное подсемейство семейства , то мажорантой семейства является множество . По лемме Цорна в семействе будет существовать максимальный элемент . Нетрудно видеть, что последнее множество удовлетворяет условиям 1) и 2) леммы.

Полагая , мы получим последовательность счетных множеств , удовлетворяющих условиям 1) и 2) леммы для этого . Покажем теперь, что счетное объединение семейств всех шаров , где и , является базой топологии. Пусть и есть окрестность точки . Можно считать, что есть является шаром . Выберем натуральное число так, чтобы . В силу леммы найдется точка такая, что . Осталось заметить, что . В самом деле, если , то . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Доказазательство последней теоремы использует лемму Цорна.

1.13. Сепарабельность. Свойство Суслина