1.14. Фактор-пространство

Пусть дано множество X и на нем задано отношение эквивалентности, факт эквивалентности точек x и y мы будем записывать как обычно: x ~ y. Как известно, тогда множество X разобъется на классы эквивалентности. Класс эквивалентности, содержащий точку x, мы будем обозначать через [x], т.е. . Множество всех классов эквивалентности мы будем обозначать через X / ~.

Если X - топологическое пространство и на нем задано отношение эквивалентности ~, то определим фактор-топологию на X / ~ как сильнейшую среди всех топологий, для которых каноническое отображение является непрерывным. Множество X / ~ , наделенное фактор-топологией, будем называть фактор-пространством, а отображение I- фактор-отображением.

Теорема 27. Множество G открыто в фактор-пространстве X / ~ тогда и только тогда, когда открыто в X .

Доказательство теоремы 27.

Пусть  есть фактор-отображение. Если  открыто в , то  открыто, поскольку отображение  непрерывно. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим семейство  семейство всех подмножеств , для которых прообраз  является открытым. Нетрудно проверить, что семейство  является топологией, относительно которой  непрерывно и эта топология - сильнейшая относительно этого свойства.

Теорема 28. Фактор-пространство X / ~ удовлетворяет аксиоме Т₁ тогда и только тогда, когда все классы эквивалентности являются замкнутыми множествами.

Доказательство теоремы 28.

Эта теорема есть следствие теоремы 14.

Теорема 29. Пусть X - компактное хаусдорфово пространство и на нем задано отношение эквивалентности с замкнутыми классами эквивалентности. Пусть, кроме того, выполнено условие: если открытое множество U в пространстве содержит класс эквивалентности [x], то найдется открытое подмножество , также содержащее класс эквивалентности [x] и, кроме того, являющееся объединением некоторого семейства классов эквивалентности. Тогда фактор-пространство X / ~ является компактным и хаусдорфовым.

Доказательство теоремы 29.

Компактность фактор-пространства очевидна. Теорема 28 гарантирует выполнение аксиомы T₁. Пусть  и  - два несовпадающих класса эквивалентности. Следовательно, они представляют собой два непересекающиеся замкнутые множества. Т.к. пространство  является нормальным, то существуют непересекающиеся открытые множества  и  такие, что  и . По условию теоремы найдутся открытые множества  и , которые являются составленными из классов эквивалентности и такие, что  и . По теореме 27 множества  и  являются открытыми и непересекающимися окрестностями  и .