1.15. Поверхности

Топологическое пространство X мы будем называть двумерным топологическим многообразием или просто поверхностью, если каждая точка имеет окрестность O_x, гомеоморфную евклидову пространству R². Т.к. R² гомеоморфно обычному круглому диску , то можно считать, что окрестности O_x всех точек топологически являются дисками.

Примерами поверхностей являются сфера и тор.

Заметим, что тор можно рассматривать как фактор-пространство, получаемое из прямоугольника склеиванием противоположных сторон (верхняя с нижней - линия а, и правая с левой - линия b). При этом внутренние точки прямоугольника эквивалентны только сами себе, классы эквивалентности точек на сторонах состоят ровно из двух точек и 4 вершины прямоугольника составляют отдельный класс эквивалентности.

Вообще говоря, два одинаковых отрезка можно отождествить двумя способами:

Второй способ отличается от первого тем, что мы переворачиваем один из отрезков по отношению к другому отрезку. Рисунок 2 можно рассматривать, как развертку тора. Т.к. сфера гомеоморфна поверхности куба, то развертку сферы можно считать хорошо известной - ее все клеили в средней школе (см. рис.4). Ниже мы рассмотрим другую развертку сферы (поверхности куба).