Если рассмотреть развертку тора, то естественно возникает вопрос: какой поверхности соотвествует развертка, изображенная на следующем рисунке:
Отличие этой развертки от ранее рассмотренной нами развертки тора в том, что направление стрелки на правой стороне изменено на противоположное. Заметим, что нет никаких сомнений в существовании этого объекта - ведь это просто фактор-пространство по некоторому отношению эквивалентности и по теореме 29 оно является некоторым компактным хаусдорфовым пространством. Нетрудно проверить, это фактор-пространство является поверхностью. В обычном трехмерном евклидовом пространстве эта поверхность не может быть вложена, но можно ее разместить в 4-мерном пространстве (подумайте, как это сделать). Данное фактор-пространство принято называть бутылокой Клейна. Часто изображается трехмерная модель этой поверхности с самопересечением - см. рис.9, которого, как следует из определения этого объекта, не должно быть.
Если мы дополнительно развернем в обратную сторону стрелку на одной из горизонтальных сторон,
то получим так называемую проективную плоскость