Теорема 30. Пусть X - связная компактная поверхность. Тогда или
1) X есть сфера, или
2) X есть сфера с конечным числом ручек, или
3) X есть сфера с конечным числом листов Мебиуса.
В последних двух пунктах этой теоремы мы имеем ввиду, что в сфере вырезано несколько круглых дыр, к которым приклеиваются или ручки или листы Мебиуса, как это мы описали выше.
Методы доказательства этой теоремы поучительны и используются при решении задач. Оно нами разбито на этапы, в частности, на ряд вспомогательных лемм.
Лемма 31. (О триангуляции). Поверхность X можно разбить линиями на конечное число (криволинейных) многоугольников.
Формальное доказательство этой леммы мы опускаем. Интуитивный смысл этой леммы понять очень просто: мы берем бритвочку и "кромсаем" поверхность на части до тех пор, пока она не распадется на отдельные многоугольники. Чтобы запомнить последовательность проводимых манипуляций, договоримся обозначать берега каждого отдельного разреза различными буквами а, b, c,…. Кроме того, мы знаем, что априори существует два способа приклеивания одноименных отрезков (см. рис. 3). Поэтому снабдим разрезы стрелками. В результате мы получим набор многоугольников, все стороны которых проименованы буквами и снабжены стрелками, например, как показано на следующем рисунке.
Если мы захотим запомнить этот набор, то зафиксируем в качестве положительного направления - обход против часовой стрелки (как это принято в математике) - и запишем подряд все буквы. При этом укажем степень 1, если направление обхода совпадет с направлением стрелки, и −1 , если они будут различаться. Так для набора многоугольников на рисунке 13 мы получим набор слов: