Мы уже договорились кодировать многоугольники словами, буквы которых соответствуют их сторонам. Заметим, что по нашей договоренности каждый разрез обозначается своей персональной буквой. Следовательно, справедливо следующее правило:
Заметим, что если мы склеим все многоугольники по согласованным направлениям одноименных сторон, то мы восстановим первоначальную поверхность. Выпишем теперь основные операции над словами и предложениями (=наборами слов), которые не меняют топологию первоначальной поверхности.
Операция 0 (Операция переименования). Любую букву можно переименовать в любую другую букву при условии, что она еще не задействована. Можно также переименовать букву a в букву a-1 и, одновременно, a-1 переименовать в a (при условии, конечно, что буква a не присутствует в одинаковых степенях).
Операция 1 Буквы в словах можно циклически переставлять, т.е., например,
(знак : указывает на то, что многоугольник остается тем же).
Операция 2 (Операция переворачивания). Буквы в слове можно записать в обратном порядке и обязательно при этом в обратных степенях. Например,
Эта операция соответствует простому переворачиванию многоугольника на другую сторону.
Операция 3 (Операция разрезания). Если мы проводим дополнительный разрез в многоугольнике, соединяющий его вершины, то получаем уже два многоугольника. Например,
Операция 4 (Операция склейки). Два многоугольника склеиваются по одноименной стороне так, чтобы стрелки совпадали. Эта операция является обратной к предыдущей операции. Заметим, что надо добиваться, чтобы одно слово заканчивалось на букву x, а другое начиналось с буквы x-1 или наоборот (см. операцию 0).