Лемма 32. С помощью операции склейки от предложения, соответствующего данной поверхности, можно перейти к одному слову.
Предположим, что процедура склейки не ведет к одному большому многоугольнику, т.е. к развертке. Это на алгебраическом языке означает, что все слова можно разбить на две группы так, что множество букв в словах первой группы не содержатся в словах второй группы. Легко понять, что это означает, что при полной склейке всех одноименных сторон поверхность становится несвязной.
Многоугольник, который соответствует одному слову, полученному посредством леммы 32, естественно назвать разверткой данной поверхности. Развертка кодируется некоторым одним словом, в котором каждая буква встречается ровно два раза. Всюду далее мы будем считать, что мы имеем дело с разверткой поверхности и с одним объединяющим словом.
Априори возможны два основных случая:
Случай 1 (Случай двусторонней поверхности). В объединяющем слове каждая буква встречается обязательно в разных степенях.
Ниже мы докажем, что при заданном условии мы получим или сферу или сферу с некоторым числом ручек. Легко понять, что эти поверхности действительно являются двухсторонними, ибо их можно раскрасить двумя разными красками - одной снаружи поверхности и другой - изнутри.
Случай 2 (Случай односторонней поверхности). В объединяющем слове найдется по крайней мере одна буква в одинаковых степенях.
Мы покажем, что в этом случае мы получаем сферу с дырками, которые заклеены листами Мебиуса (см. формулировку теоремы 30). Хорошо известно, что лист Мебиуса является односторонней поверхностью, закрашивая его, мы закрасим только одним цветом. "Сходя" с вклеенного листа Мебиуса на оставшуюся часть сферы, мы закрасим оставшуюся внутреннюю и наружную часть тем же цветом.
Теперь перейдем к рассмотрению каждого из этих случаев отдельно.