Мы можем предположить, что в нашем слове уже проведены все сокращения. Для каждой буквы  обозначим через  ее индекс - это меньший из двух чисел, равных количеству букв между  a и a^-1, "по" и "против" часовой стрелке в данной развертке (если двигаться от a к a^-1). Этот индекс ни для какой из букв в слове не может равняться 0, иначе они стояли бы рядом и мы бы тогда смогли провести сокращение этой буквы. Выберем теперь букву  в меньшем из этих двух отрезков между a и a^-1. Буква , как мы знаем, должна  присутствовать в слове еще один раз, но это не будет тот же самый меньший отрезок между a и a^-1, ибо тогда индекс буквы  был бы меньше индекса буквы a. Таким образом, мы приходим к указанной в формулировке леммы четверке. При этом, конечно, надо иметь в виду операцию переименования.

Согласно предыдущей лемме 33 развертку поверхности можно представить в следующем виде.

На этом рисунке пунктирной линией изображены наборы не интересующих нас в данный момент сторон. Проведем дополнительный разрез, соединяющий концы (или начала) одноименных «векторов». На левом рисунке это концы векторов . Обозначим этот разрез через  и придадим ему произвольную ориентацию. На рисунке это оказалось направление слева направо. После этого нижнюю часть мы приклеим к верхней части по стороне . В результате мы получим фигуру на центральном рисунке. Заметим, что в результате такой манипуляции три интересующие нас буквы стоят вместе (это  и ), и лишь одна буква пока отделена от остальных.

Далее мы проведем следующий разрез, соединяющий или концы, или начала «вектора» . На чертеже это начало «вектора» . Затем левую отрезанную часть приклеим к правой части по стороне .  В итоге мы получим правый многоугольник. Здесь уже все четыре интересующие нас стороны идут подряд друг за другом.

Применим теперь операцию переименования. Букву  мы переименуем в , а букву  переименуем в . Тогда последняя развертка записывается словом . Что и требовалось доказать.

Если пунктирные линии в чертежах доказательства леммы 34 обозначить буквами A,B,C и D, и проследить за проведенной нами последовательностью разрезаний-склеиваний, то мы получим следующий рисунок, из анализа которого все и следует.

Изобразим нашу развертку в виде следующего многоугольника, где опять пунктирная линия изображает набор всех сторон, которые нас в данный момент не интересуют. Обозначим вершины заглавными буквами:  и . Т.к. два «вектора», носящих имя «» должны быть склеены, то  и . Из аналогичных соображений для «вектора» «» мы получаем, что  и .  Отсюда , что и требовалось доказать.