1.25. Выделение пленок Мебиуса

Мы уже знаем, что в случае односторонней поверхности в слове, соответствующей развертке, найдется буква, которая дважды появляется в одинаковых степенях, т.е. слово имеет вид: .

Лемма 37. С помощью операций 0 - 5 над словами слово можно преобразовать в слово вида .

Доказательство леммы 37.

Изобразим развертку поверхности, где опять пунктирная линия изображает совокупнсть тех сторон, которые нас в данный момент не интересуют, т.е. отличных от стороны .

Проведем новый разрез, соединяющий начала (или концы) вектора . На рисунке мы выбрали начальные точки этого «вектора». После этого возникшие две части склеим в одну по стороне . Обратим внимание на то, что одну из частей нам пришлось перевернуть другой стороной для того, чтобы направления «векторов» совпали. (В этом сказывается эффект односторонности нашей поверхности!)

Замечание 38. Действуя также, как мы действовали при обсуждении замечания 35, мы можем написать следующую эквивалентность . Здесь выражение B^-1 означает, что все буквы слова B надо записать в обратном порядке и в обратных степенях, как мы уже говорили при определении операции переворачивания.

Лемма 39. При отождествлении двух сторон, носящих имя a в слове aa... , все концевые точки склеиваются в одну.

Доказательство теоремы 39.

Обзначим вершины интересующей нас части развертки через  и

Отождествление концов и начал «вектора»  приводит нас к равенству .

Описанную в двух последних леммах процедуру можно назвать процедурой выделения пленки Мебиуса. В самом деле, согласно лемме 39 вершины A и C должны быть склеены в одну. Поэтому сделаем разрез по линии AC и соединим его концы.

Тогда одна из частей является двухугольником. Мы уже встречались с двухугольниками, когда рассматривали сферу. Если сравнить наш нынешний двухугольник с разверкой сферы, то мы увидим, что стрелки теперь расставлены иначе. Чтобы понять, что представляет данный двухугольник с дыркой, сдвинем по поверхности круглую дырку так, чтобы центр дыры попал в точку A=C . Легко понять, что получившееся пространство гомеоморфно предыдущему и что оставшаяся часть гомеоморфна листу Мебиуса.