1.26. Выворачивание ручек

После выделения пленки Мебиуса (алгебраически это выделение пары букв aa в слове) мы можем столнуться с ситуацией, когда в новом слове все буквы имеют разные степени. Но тогда мы действуем как уже действовали в случае двухсторонне поверхности и будем выделять четверки вида bcb^-1c^-1. Теперь нам нужна

Лемма 40. С помощью операций 0 - 5 слово можно преобразовать в слово вида aabbcc... .

Доказательство леммы 40.

Проведем разрез, который разбивает пару  и четверку  на две одинаковые части. Мы получим два слова:  и . Здесь через заглавную букву  обозначено слово, которое нас не интересует в данном доказательнстве. Эти две части склеим по стороне . Формально это выглядит так:  (переворачивание) и +~. Далее воспользуемся формулой замечания 38, взяв за выделенную букву . Получим ~. Опять, используя формулу замечания 38, но уже с выделенной буквой , мы получим ~. Последнее выражение можно переписать и так: . Ясно, что это завершает доказательство.

Следовательно, в присутствии листа Мебиуса ручка "эквивалентна" двум листам Мебиуса. На следующих двух рисунках проясняется интуитивная суть этого явления. На них в виде заштрихованного круга изображенно место, где круглая дырка заклеена листом Мебиуса. Кроме того, присутствует также 1 ручка. Поступаем далее так: "заводим" одну из "ножек" данной ручки на лист Мебиуса и далее "передвигаем" ее по этому листу на полный оборот. Далее мы сходим с листа Мебиуса на основную поверхность и возвращаем на первоначальное место.

В результате мы получим вывернутую ручку, как на правом части рис.20. Именно такой же вид имеет 3-мерная модель бутылки Клейна.

Лемма 41. Бутылка Клейна гомеоморфна сфере с двумя листами Мебиуса.

Доказательство теоремы 41.

Рассмотрим развертку бутылки Клейна на рисунке 10.

Далее проведем разрез по диагонали и получим четырехугольник с ориентацией сторон, записываемых словом: . Это соответствует сфере с двумя дырками, заклеенными листами Мебиуса.