1.28. Проективная плоскость

Мы уже видели в лемме 41, что бутылка Клейна гомеоморфна сфере с двумя листами Мебиуса. Возникает естественный вопрос: что представляет собой сфера с одним листом Мебиуса? Здесь мы отвечаем на него.

Проективной плоскостью RP² называется фактор-пространство, полученное из , где 0 - начало координат, по отношению эквивалентности: x ~ y тогда и только тогда, когда точки x и y лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Таким образом, x ~ y тогда и только тогда, когда для некоторого ненулевого числа .

Второе представление проективной плоскости в виде факторпространства можно получить следующим образом. Рассмотрим сферу S² радиуса 1 с центром в начале координат в пространстве R³ . Любая прямая, проходящая через начало координат, проколет эту сферу в двух точках: x и -x . Поскольку выше мы отождествляли все точки этой прямой, то получается, что точки x и -x должны быть отождествлены. Отсюда следует, что пространство RP² гомеоморфно фактор-пространству S²/~ .

Рассмотрим теперь третье представление проективной плоскости в виде фактор-пространства. Разрежем сферу на рисунке 22 по экватору. Сфера разделиться на две части - верхнюю и нижнюю. Каждой точке в верхней половине будет соответствовать ровно одна точка в нижней.

Следовательно, если мы отбросим нижнюю часть, то ни одной точки мы не потеряем. Особый случай представляют точки экватора. Будем считать, что экватор принадлежит верхней части. Тогда обе точки: x и -x принадлежат верхней полусфере. Теперь мы получаем, что RP² гомеоморфно фактор-пространству D/~ , где D есть круглый замкнутый диск, который получился в результате "сплющивания" верхней полусферы. Отношение эквивалентности задано так: внутренние точки диска D эквивалентны только сами себе, а любая граничная точка x эквивалентна диаметрально противоположной точке -x . Нетрудно теперь сообразить, что третье представление - это в точности представление замкнутой связной поверхности, закодированной словом aa.