1.2. Сравнение топологий

Пусть и - две топологии на множестве . Возможны случаи:

, т.е. топологии состоят из одинакого набора открытых множеств, в этом случае мы говорим о равенстве топологий;

, т.е. всякое открытое в первой топологии множество является открытым и во второй топологии и обратное неверно, в этом случае говорят, что топология слабее топологии ;

, т.е. всякое открытое в первой топологии множество является открытым и во второй топологии и обратное неверно, в этом случае говорят, что топология сильнее топологии ;

топологии и являются несравнимыми топологиями, если ни одно из включений и не имеет места, т.е. найдутся открытые множества открытые в первой топологии и не открытые во второй и наоборот.

Сравнить топологии - это указать, какая из четырех ситуаций имеет место. При этом мы считаем, что они взаимоисключающие и для данных двух топологий может иметь место ровно одна из этих возможностей.

Если топологии и заданы с помощью указания ф.с.о., то нетрудно заметить, что более сильной является та топология, у которой окрестности мельче. Более точно: топология имеет более мелкие окрестности, чем топология , если для каждой точки и любой окрестности в топологии существует окрестность V в топологии такая, что . Ясно, что топологии будут совпадать, если каждая из них имеет более мелкие окрестности, чем другая. Несравнимость топологий устанавливается прямым указанием множеств, которые являются окрестностями в одной топологии и не являются окрестностями в другой.