Доказанная нами теорема 30 позволяет поставить вопрос о классификации топологических многообразий размерности больше 2. Ответы на эти вопросы оказались очень непростыми, и они были в центре внимания все ХХ столетие.
Заметим, что среди всех поверхностей сфера выделяется следующим своим свойством: только для нее любая замкнутая кривая на ее поверхности может быть стянута в точку.
Видимо именно это подвигло великого математика, создателя топологии - А. Пуанкаре - сформулировать в 1903 г. следующую знаменитую проблему, которая обычно упоминается, как проблема Пуанкаре: Всякое ли трехмерное компактное, связное многообразие без края, в котором каждая замкнутая кривая стягивается в точку, гомеоморфно трехмерной сфере S3 ?
Любопытно заметить, что проблема классификации 4-мерных многообразий получила в 40-ых годах ХХ века следующее парадоксальное решение:
Теорема (А.А. Марков). Задача классификации 4-мерных многообразий алгоритмически неразрешима.
Проблему Пуанкаре решил через 99 лет после ее постановки Г. Перельман. В 2006 г. ему была присуждена Филсдовская медаль (аналог нобелевской премии), но ученый отказался от награды.