1.31. Задачи для самостоятельного решения

1. Перечислить все топологии на множестве из трех элементов.

2. Пусть X -- произвольное множество мощности и - бесконечный кардинал, . Объявим замкнутыми X и все подмножества в X мощности, не превосходящей . Доказать, что получается топологическое пространство. Какой аксиоме отделимости оно удовлетворяет?

3. Для топологического пространства X обозначим через exp X совокупность всех его замкнутых подмножеств. Доказать, что семейство всевозможных множеств вида , где G₁,...,G_n - произвольный набор открытых подмножеств в X, образует базу некоторой топологии на exp X , которую принято называть топологией Виеториса.

4. Доказать, что на множестве R^x всех функций ф.с.о. B_f , определенное состоящим из всевозможных множеств вида , определяет некоторую топологию, которая называется топологией поточечной сходимости.

5. Пусть [a,b] - сегмент в R . Доказать, что на множестве C[a,b] всех непрерывных функций каждая из следующих формул:

определяют некоторую метрику и, следовательно, и топологию. Первая из этих топологий называется топологией равномерной сходимости.

6. Пусть - топология поточечной сходимости на C[a,b] и и - топологии на C[a,b] , порожденные метриками и из предыдущей задачи. Доказать, что и , а обратные включения неверны. Доказать, что топологии и несравнимы.