1.3. Замыкание


Пусть - топологическое пространство и . Точка называется точкой прикосновения множества A , если любая ее окрестность имеет непустое пересечение с множеством A. Множество всех точек прикосновения множества A называется его замыканием и обозначается символом .

Очевидно, что для любого .

Теорема 3. Множество - наименьшее замкнутое множество, содержащее множество A.

Доказательство теоремы 3.

Закрыть

Нам достаточно доказать формулу:

.

Если точка  не принадлежит правой части, то эта точка не попадет в некоторое замкнутое множество , содержащее . Тогда множество  будет окрестностью точки , дизъюнктной с, т.е. .

Обратно, из  и определения замыкания следует, что существует окрестность , для которой . Тогда множество  замкнуто и содержит . Ясно, что .


Теорема 4 (теорема Куратовского) Операция замыкания в топологическом пространстве X имеет следующие свойства:

1) ;

2) для любого подмножества A в X ;

3) для любых множеств A и B;

4) для любого множества A.


Верно и обратное: если на множестве всех подмножеств множества X задана операция , удовлетворяющая условиям 1)-4), то на множестве X существует единственная топология, относительно которой эта операция является операцией замыкания.

Доказательство теоремы 4.

Закрыть

Пункты 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Из определения замыкания вытекает, что большее множество имеет большее замыкание, следовательно, из  следует . Поэтому  и . Значит, . По теореме 3 множества   и  являются замкнутыми множествами, поэтому их объединение  − также замкнутое множество, очевидно содержащее . Поэтому . Пункт 4) следует теоремы 3.

Предположим теперь, что нам задана операция  над множествами, удовлетворяющая условиям 1)-4). Определим семейство

,

т.е. мы объявим замкнутыми множествами те, и только те множества, которые введенная нами операция не изменяет. Из условия 1) следует, что .  Из 2) получаем, что , но шире основного пространства быть нельзя, поэтому  и . Это доказывает (F1). Далее нам понадобиться лемма.

Лемма. Если , то .

Доказательство леммы. Имеем . Из 3) теперь следует, что .

Докажем (F2). Из доказанной леммы следует, что  для каждого . Следовательно, . Обратное включение справедливо по пункту 2) теоремы.

Условие (F2) следует из пункта 3) теоремы.

Итак, согласно теореме 1 существует топология , относительно которой наша операция является операцией замыкания. Из пункта 4) следует, что в топологии  семейство  есть в точности семейство всех замкнутых множеств. Обозначим теперь через  замыкание в этой новой топологии. По теореме 3 =. Но по нашему определению топологии последнее множество совпадает с пересечением  , которое в силу пункта 3) теоремы совпадает с .


Таким образом, теорема Куратовского дает нам еще один способ введения топологии на множестве. Часто вместо понятия "точки прикосновения" исползуется понятие "предельная точка": точка x называется предельной точкой множества A, если для любой ее проколотой окрестности, т.е. множества вида , где есть окрестность точки x , выполнено . Множество всех предельных точек называется производным множеством и обозначается через .

Точка x множества A называется его изолированной точкой, если она имеет окрестность такую, что .

Имеет место следующая очевидная теорема


Теорема 5. Точка прикосновения является или предельной точкой или изолированной точкой, следовательно, .