1.3. Замыкание
Пусть - топологическое пространство и . Точка называется точкой прикосновения множества A , если любая ее окрестность имеет непустое пересечение с множеством A. Множество всех точек прикосновения множества A называется его замыканием и обозначается символом .
Очевидно, что для любого .
Теорема 3. Множество - наименьшее замкнутое множество, содержащее множество A.
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно доказать формулу:
.
Если точка не принадлежит правой части, то эта точка не попадет в некоторое замкнутое множество , содержащее . Тогда множество будет окрестностью точки , дизъюнктной с, т.е. .
Обратно, из и определения замыкания следует, что существует окрестность , для которой . Тогда множество замкнуто и содержит . Ясно, что .
Теорема 4 (теорема Куратовского) Операция замыкания в топологическом пространстве X имеет следующие свойства:
1) ;
2) для любого подмножества A в X ;
3) для любых множеств A и B;
4) для любого множества A.
Верно и обратное: если на множестве всех подмножеств множества X задана операция , удовлетворяющая условиям 1)-4), то на множестве X существует единственная топология, относительно которой эта операция является операцией замыкания.
Доказательство теоремы 4.
Пункты 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Из определения замыкания вытекает, что большее множество имеет большее замыкание, следовательно, из следует . Поэтому и . Значит, . По теореме 3 множества и являются замкнутыми множествами, поэтому их объединение − также замкнутое множество, очевидно содержащее . Поэтому . Пункт 4) следует теоремы 3.
Предположим теперь, что нам задана операция над множествами, удовлетворяющая условиям 1)-4). Определим семейство
,
т.е. мы объявим замкнутыми множествами те, и только те множества, которые введенная нами операция не изменяет. Из условия 1) следует, что . Из 2) получаем, что , но шире основного пространства быть нельзя, поэтому и . Это доказывает (F1). Далее нам понадобиться лемма.
Лемма. Если , то .
Доказательство леммы. Имеем . Из 3) теперь следует, что .
Докажем (F2). Из доказанной леммы следует, что для каждого . Следовательно, . Обратное включение справедливо по пункту 2) теоремы.
Условие (F2) следует из пункта 3) теоремы.
Итак, согласно теореме 1 существует топология , относительно которой наша операция является операцией замыкания. Из пункта 4) следует, что в топологии семейство есть в точности семейство всех замкнутых множеств. Обозначим теперь через замыкание в этой новой топологии. По теореме 3 =. Но по нашему определению топологии последнее множество совпадает с пересечением , которое в силу пункта 3) теоремы совпадает с .
Таким образом, теорема Куратовского дает нам еще один способ введения топологии на множестве.
Часто вместо понятия "точки прикосновения" исползуется понятие "предельная точка": точка x называется предельной точкой множества A, если для любой ее проколотой окрестности, т.е. множества вида , где есть окрестность точки x , выполнено . Множество всех предельных точек называется производным множеством и обозначается через .
Точка x множества A называется его изолированной точкой, если она имеет окрестность такую, что .
Имеет место следующая очевидная теорема
Теорема 5. Точка прикосновения является или предельной точкой или изолированной точкой, следовательно, .