1.4. Внутренность

Пусть - топологическое пространство и . Точка называется внутренней точкой множества A, если у нее существует окрестность такая, что . Множество всех внутренних точек множества называется его внутренностью и обозначается .

Очевидно, что для любого .

Теорема 6. Множество - наибольшее открытое множество, лежащее во множестве A.

Доказательство теоремы 6.

Доказательство сводится к нетрудной проверке равенства

.

Как показывает следующая теорема, связь между операциями замыкания и внутренности очень проста - они взаимо дополнительны друг относительно друга.

Теорема 7. , .

Эта теорема доказывается непосредственно из определений.

Теорема 8. Операция внутренности в топологическом пространстве X имеет следующие свойства:

5) ;

6) для любого подмножества A в X ;

7) для любых множеств A и B ;

8) для любого множества A .

Верно и обратное: если на множестве всех подмножеств множества X задана операция , удовлетворяющая условиям 1)-4), то на множестве X существует единственная топология, относительно которой эта операция является операцией взятия внутренности.

Доказательство теоремы 8.

Доказательство можно провести непосредственно из определений примерно также, как была доказана теорема 4  Куратовского. Значительно более легкий способ - вывести эту теорему из теоремы 7.

Как и для операции замыкания, теорема 8 дает еще один способ введения топологии на множестве.