Пусть - топологическое пространство и
. Точка
называется граничной точкой множества A, если любая ее окрестность
имеет непустое пересечение как с множеством A, так и с его дополнением
. Множество всех граничных точек множества A называется его границей и обозначается через
.
Понятие границы тесно связанно с понятиями замыкания и внутренности и к ним сводится, как показывает следующая теорема.
Теорема 9. .
Пусть . Для окрестности
этой точки
, следовательно,
. Т.к. всегда
, то точка
не может быть внутренней точкой множества
, следовательно,
. Обратно, если
, то для произвольной окрестности
мы получим
и
. Отсюда
.
Таким образом, для нахождения границы множества достаточно найти его замыкание и внутренность.