Пусть - топологическое пространство и . Точка называется граничной точкой множества A, если любая ее окрестность имеет непустое пересечение как с множеством A, так и с его дополнением . Множество всех граничных точек множества A называется его границей и обозначается через .
Понятие границы тесно связанно с понятиями замыкания и внутренности и к ним сводится, как показывает следующая теорема.
Пусть . Для окрестности этой точки , следовательно, . Т.к. всегда , то точка не может быть внутренней точкой множества , следовательно, . Обратно, если , то для произвольной окрестности мы получим и . Отсюда .
Таким образом, для нахождения границы множества достаточно найти его замыкание и внутренность.