1.7. Непрерывные отображения
Пусть и
- два топологических пространства. Отображение называется
непрерывным в точке , если для любой окрестности
точки найдется окрестность
Ox точки x такая, что . Мы можем
ограничиваться в этом определении только открытыми окрестностями точек, и тогда можно сформулировать данное определение и следующим
образом: для любого такого, что
найдется такое , что и
.
Если отображение непрерывно в каждой точке , то оно называется непрерывным. Ниже мы приводим три основных критерия непрерывности
отображения.
Теорема 10. Отображение непрерывно, если и только если прообраз
каждого открытого множества является открытым.
Доказательство теоремы 10.
Пусть открыто в . Рассмотрим произвольную точку в . Тогда принадлежит , следовательно, множество является окрестностью точки . Из непрерывности вытекает существование окрестности такой, что . Последнее эквивалентно можно переписать как , что доказывает открытость множества .
Обратно, пусть прообраз каждого открытого множества является открытым и . Пусть окрестность задана. Без ограничения общности можно считать ее открытой. Тогда множество также будет открытым множеством, следовательно, оно будет окрестностью каждой своей точки, в частности, окрестностью точки . Остается положить .
Теорема 11. Отображение непрерывно, если и только если прообраз каждого
замкнутого множества является замкнутым.
Доказательство теоремы 11.
Доказательство легко следует из теоремы 10 и формулы , справедливой для любого отображения и множества .
Теорема 12. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда
для каждого .
Доказательство теоремы 12.
Предположим, что есть непрерывное отображение и принадлежит . Тогда . Для любой окрестности в силу непрерывности найдется окрестность такая, что . Т.к. , выберем точку . Тогда , т.е. последнее пересечение не пусто. Таким образом, , что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что для каждого , но отображение разрывно в точке . Последнее означает, что найдется такая окрестность точки , для которой , какова бы ни была окрестность точки . В частности, это будет так для любого из фундаментальной системы окрестностей точки . Выберем по точке , для которой . Обозначим . Тогда очевидно, что . Кроме того, по построению. Но это противоречит условию .