1.8. Гомеоморфизмы и топологические инварианты

Отображение называется гомеоморфизмом, если выполнены следующие три условия:

1) f есть биекция X на Y ;

2) f непрерывно;

3) f ^-1 непрерывно.

Если между топологическими пространствами существует гомеоморфизм, то они называются гомеоморфными пространствами. Из доказанной выше теоремы 10 легко следует

Теорема 13. Отображение является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f является биекцией X на Y, которая одновременно является биекцией между топологиями и , т.е. тогда и только тогда, когда .

Топологическим инвариантом называется любое свойство, которое сохраняется гомеоморфизмами. Заметим, что такие геометрические понятия, как длина, площадь не являются топологическими инвариантами, т.к. при гомеоморфизмах они могут произвольно меняться. Поиск и изучение топологических инвариантов составляет суть топологии. Далее мы познакомимся с некоторыми важнейшими из них.