4.7. Гомеоморфизмы

Во всех задачах этого раздела используется только евклидова топология на вещественной прямой и плоскости.

 Задача 14. Какие из следующих подпространств вещественной прямой являются гомеоморфными: , ,  и ?

Решение: все перечисленные пространства попарно гомеоморфны. Требуемые гомеоморфизмы можно задать так:

, ;

, ;

, ;

Композиции этих трех гомеоморфизмов и их обратных даст нам гомеоморфизмы между оставшимися парами пространств. Например, отображение  является гомеоморфизмом между  и , а отображение  – гомеморфизм из  на .

Задача 15. Какие из пространств: ,  и  являются попарно гомеоморфными?

Начало решения , Конец решения .

 Задача 16. Гомеоморфны ли фигуры на плоскости

("восьмерка") и

("перечеркнутая восьмерка")?

Решение

Задача 17. Гомеоморфны ли следующие подпространства вещественной прямой:

и

Решение. Точки вида  – это предельные точки множества , принадлежащие . С другой стороны, любая точка множества  изолирована. Таким образом,  – дискретное пространство, а  – нет. Значит,  и  не гомеоморфны.