4.2. Определение топологии

Начнем с задач, в которых непосредственно используется определение топологии.

Задача 1. Образует ли топологию на вещественной прямой совокупность  всех множеств вида , где , а также  и все ? Если ответ положительный, то какой аксиоме отделимости удовлетворяет это пространство?

Решение. Пересечением двух полубесконечных интервалов  и  будет множество , где  есть меньшее из чисел  и . Следовательно, аксиома  выполнена для случая двух множеств. На случай любого конечного числа рассматриваемых множеств она распространяется по индукции. Аксиома  очевидна. Остается проверить первую аксиому определения топологии. Пусть дано некоторое семейство  открытых множеств. Это семейство может быть и бесконечным. Каждое множество  есть интервал вида . Легко видеть, что объединением этого семейства будет полубесконечный интервал: .

Данное пространство удовлетворяет аксиоме . В самом деле, пусть  – две разные точки. Тогда можно выбрать точку  такую, что . Тогда открытое множество  содержит точку  и не содержит . Однако всякая окрестность точки  будет обязательно содержать точку . Следовательно, аксиома  не имеет места.

Задача 2. Образует ли топологию на вещественной прямой совокупность  всех множеств вида , где , а также  и все ?

Решение. Рассмотрим какую-нибудь строго возрастающую последовательность с конечным пределом. Например, пусть это будет последовательность . Тогда . Заметим, что число 1 не попадает в объединение, т.к. его нет ни в одном из заданных множеств. Следовательно, объединение элементов из семейства  не является полуоткрытым интервалом, т.е. не принадлежит  и, значит, последнее семейство топологией не является. Ясно, что ни о каких аксиомах отделимости здесь говорить не приходится.

Замечание. В математике всегда отрицательные утверждения типа сказанного выше устанавливаются построением конкретного контрпримера. Имейте это в виду при решении предлагаемых задач, в том числе и наших.

Случаи, когда топология задана полным списком всех открытых или замкнутых множеств, на самом деле единичны. Основным способом является описание фундаментальных окрестностей точек.

Задача 3. Фундаментальная система окрестностей точки  на вещественной прямой задана как семейство всех множеств вида: , , если , и одноточечные множества , если . Определяет ли это описание топологическое пространство? Если да, то каким аксиомам отделимости оно удовлетворяет?

Решение. Ф.с.о. отрицательного числа состоит ровно из одной точки и, очевидно, условия  выполнены. Для  окрестностями объявлены множества вида . Разные окрестности отличаются только разными значениями числа , причем меньшему числу  соответствует меньшая окрестность. Это доказывает . При проверке  новую точку  можно выбрать отрицательной и тогда она сама является своей окрестностью, либо подобрать  достаточно маленьким. Это пространство регулярно, т.к. в любую окрестность можно вписать меньшую с замыканием.

Задача 4. Фундаментальная система окрестностей точки  на вещественной прямой  задана как семейство всех множеств вида: , . Определяет ли это описание топологическое пространство? Если да, то каким аксиомам отделимости оно удовлетворяет?

Решение. Нарушено условие , т.к. при уменьшении числа  часть  увеличивается, а не уменьшается. Следовательно, топологии нет и об аксиомах отделимости говорить не приходится.

Задача 5. Фундаментальная система окрестностей точки  на плоскости  задана как семейство всех множеств вида: , .

Определяет ли это описание топологическое пространство? Если да, то каким аксиомам отделимости оно удовлетворяет?

Решение